Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left| f\left( \cos x+1 \right)+m \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của $S$ bằng$$
A. $4$.
B. $-7$.
C. $-\dfrac{7}{2}$.
D. $6$.
Xét $f\left( t \right)={{t}^{4}}-2{{t}^{2}}+m$ với $t\in \left[ 0;2 \right]$.
${f}'\left( t \right)=4{{t}^{3}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \left( \text{nhan} \right) \\
& t=1 \left( \text{nhan} \right) \\
& t=-1\left( \text{loai} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $f\left( 0 \right)=m$, $f\left( 1 \right)=-1+m$, $f\left( 2 \right)=8+m$.
Do đó $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=8+m$, $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=m-1$.
Suy ra $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( t \right) \right|=\dfrac{\left| m+8+m-1 \right|+\left| m+8-m+1 \right|}{2}=\dfrac{\left| 2m+7 \right|+9}{2}$.
Ta có $\max y=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( t \right) \right|=\dfrac{\left| 2m+7 \right|+9}{2}\ge \dfrac{9}{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2m+7=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{7}{2}$.
A. $4$.
B. $-7$.
C. $-\dfrac{7}{2}$.
D. $6$.
Đặt $t=\cos x+1, t\in \left[ 0;2 \right]$. Khi đó $y=\left| {{t}^{4}}-2{{t}^{2}}+m \right|$ với $t\in \left[ 0;2 \right]$.Xét $f\left( t \right)={{t}^{4}}-2{{t}^{2}}+m$ với $t\in \left[ 0;2 \right]$.
${f}'\left( t \right)=4{{t}^{3}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \left( \text{nhan} \right) \\
& t=1 \left( \text{nhan} \right) \\
& t=-1\left( \text{loai} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $f\left( 0 \right)=m$, $f\left( 1 \right)=-1+m$, $f\left( 2 \right)=8+m$.
Do đó $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=8+m$, $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=m-1$.
Suy ra $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( t \right) \right|=\dfrac{\left| m+8+m-1 \right|+\left| m+8-m+1 \right|}{2}=\dfrac{\left| 2m+7 \right|+9}{2}$.
Ta có $\max y=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( t \right) \right|=\dfrac{\left| 2m+7 \right|+9}{2}\ge \dfrac{9}{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2m+7=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{7}{2}$.
Đáp án C.