Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $d$ là đường thẳng có đúng 3 điểm chung với $\left( C \right)$ có hoành độ lần lượt là ${{x}_{1}}$ ; ${{x}_{2}}$ ; ${{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=-1$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$ và $d$ gần với kết quả nào dưới đây?
A. $1,5$.
B. $1,6$.
C. $1,7$.
D. $1,45$.
Vì đương thẳng $d$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ ( $\left( C \right)$ là đồ thị hàm trùng phương) tại đúng $3$ điểm (phương trình hoành độ có đúng 3 nghiệm phân biệt nên một trong các nghiệm đó là nghiệm kép) nên đường thẳng $d$ tiếp xúc với đồ thị $\left( C \right)$ tại một trong ba điểm đó.
Không giảm tính tổng quát coi $d$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ ${{x}_{1}}$. Khi đó phương trình đường thẳng $d:y={f}'\left( {{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{1}} \right)$ $\Leftrightarrow y=4\left( x_{1}^{3}-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+x_{1}^{4}-2x_{1}^{2}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và đồ thị $\left( C \right)$ là
${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}=4\left( x_{1}^{3}-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+x_{1}^{4}-2x_{1}^{2}$ $\Leftrightarrow {{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2{{x}_{1}}x+3x_{1}^{2}-2 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& {{x}^{2}}+2{{x}_{1}}x+3x_{1}^{2}-2=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
$d$ cắt $\left( C \right)$ tại $3$ điểm khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác ${{x}_{1}}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& 5x_{1}^{2}-2\ne 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-2x_{1}^{2}>0 \\
& x_{1}^{2}\ne \dfrac{2}{5} \\
\end{aligned} \right.$ (*)
Theo giả thiết ta suy ra ${{x}_{2}}$ ; ${{x}_{3}}$ là hai nghiệm của phương trình (1).Theo định lý Vi et ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}+{{x}_{3}}=-2{{x}_{1}} \\
& {{x}_{2}}{{x}_{3}}=3x_{1}^{2}-2 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=-1$ $\Leftrightarrow x_{1}^{3}+{{\left( {{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)}^{2}}-3{{x}_{2}}{{x}_{3}}\left( {{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)=-1$ $\Leftrightarrow x_{1}^{3}-8x_{1}^{3}+6{{x}_{1}}\left( 3x_{1}^{2}-2 \right)=-1$ $\Leftrightarrow 11x_{1}^{3}-12{{x}_{1}}+1=0$ $\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( 11x_{1}^{2}+11{{x}_{1}}-1 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=1 \\
& 11x_{1}^{2}+11{{x}_{1}}-1=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=1 \\
& {{x}_{1}}=\dfrac{-11+\sqrt{165}}{22} \\
& {{x}_{1}}=\dfrac{-11-\sqrt{165}}{22} \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp điều kiện (*) ta suy ra ${{x}_{1}}=\dfrac{-11+\sqrt{165}}{22}\approx 0.08387$. Từ đó suy ra ${{x}_{2}}=-{{x}_{1}}-\sqrt{2-2x_{1}^{2}}\approx -1.4931$ ; ${{x}_{3}}=-{{x}_{1}}+\sqrt{2-2x_{1}^{2}}\approx 1,3254$.
Diện tích hình phẳng $S=\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-4\left( x_{1}^{3}-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)-x_{1}^{4}+2x_{1}^{2} \right|dx}\approx 1,5871$
A. $1,5$.
B. $1,6$.
C. $1,7$.
D. $1,45$.
Vì đương thẳng $d$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ ( $\left( C \right)$ là đồ thị hàm trùng phương) tại đúng $3$ điểm (phương trình hoành độ có đúng 3 nghiệm phân biệt nên một trong các nghiệm đó là nghiệm kép) nên đường thẳng $d$ tiếp xúc với đồ thị $\left( C \right)$ tại một trong ba điểm đó.
Không giảm tính tổng quát coi $d$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ ${{x}_{1}}$. Khi đó phương trình đường thẳng $d:y={f}'\left( {{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{1}} \right)$ $\Leftrightarrow y=4\left( x_{1}^{3}-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+x_{1}^{4}-2x_{1}^{2}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và đồ thị $\left( C \right)$ là
${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}=4\left( x_{1}^{3}-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+x_{1}^{4}-2x_{1}^{2}$ $\Leftrightarrow {{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2{{x}_{1}}x+3x_{1}^{2}-2 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& {{x}^{2}}+2{{x}_{1}}x+3x_{1}^{2}-2=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
$d$ cắt $\left( C \right)$ tại $3$ điểm khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác ${{x}_{1}}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& 5x_{1}^{2}-2\ne 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-2x_{1}^{2}>0 \\
& x_{1}^{2}\ne \dfrac{2}{5} \\
\end{aligned} \right.$ (*)
Theo giả thiết ta suy ra ${{x}_{2}}$ ; ${{x}_{3}}$ là hai nghiệm của phương trình (1).Theo định lý Vi et ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}+{{x}_{3}}=-2{{x}_{1}} \\
& {{x}_{2}}{{x}_{3}}=3x_{1}^{2}-2 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=-1$ $\Leftrightarrow x_{1}^{3}+{{\left( {{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)}^{2}}-3{{x}_{2}}{{x}_{3}}\left( {{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)=-1$ $\Leftrightarrow x_{1}^{3}-8x_{1}^{3}+6{{x}_{1}}\left( 3x_{1}^{2}-2 \right)=-1$ $\Leftrightarrow 11x_{1}^{3}-12{{x}_{1}}+1=0$ $\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( 11x_{1}^{2}+11{{x}_{1}}-1 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=1 \\
& 11x_{1}^{2}+11{{x}_{1}}-1=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=1 \\
& {{x}_{1}}=\dfrac{-11+\sqrt{165}}{22} \\
& {{x}_{1}}=\dfrac{-11-\sqrt{165}}{22} \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp điều kiện (*) ta suy ra ${{x}_{1}}=\dfrac{-11+\sqrt{165}}{22}\approx 0.08387$. Từ đó suy ra ${{x}_{2}}=-{{x}_{1}}-\sqrt{2-2x_{1}^{2}}\approx -1.4931$ ; ${{x}_{3}}=-{{x}_{1}}+\sqrt{2-2x_{1}^{2}}\approx 1,3254$.
Diện tích hình phẳng $S=\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-4\left( x_{1}^{3}-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)-x_{1}^{4}+2x_{1}^{2} \right|dx}\approx 1,5871$
Đáp án B.