Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)= {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ 0 ; 10 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ; 1 \right)$ ?
A. $11$.
B. $10$.
C. $5$.
D. $9$.
A. $11$.
B. $10$.
C. $5$.
D. $9$.
Xét hàm số $f\left( x \right)= {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1$. Ta có ${f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+4x$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$
Bảng biến thiên
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right).{{\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)}^{\prime }}$ = ${f}'\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right).\dfrac{3\left( x-m \right)}{\left| x-m \right|}$.
Cho${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-m=0 \left( 1 \right) \\
& 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}}=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Trường hợp 1: Nếu $m=0$ $\Rightarrow $ phương trình ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$ $\Rightarrow $ không thỏa mãn nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ; 1 \right)$ nên trường hợp này bị loại.
Trường hợp 2: Nếu $m>0$ $\Rightarrow $ phương trình ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=m$ ( do phương trình $\left( 2 \right)$ vô nghiệm)
Ta có $3\left| x-m \right|+{{m}^{2}}>0 \forall x<1$ $\Rightarrow {f}'\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)>0 \forall x\in \left( -\infty ; 1 \right)$ nên ${g}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow x<m$.
$\Rightarrow $ hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ; 1 \right)$ $\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)<0 \forall x\in \left( -\infty ; 1 \right)$
$\Leftrightarrow \left( -\infty ; 1 \right)\subset \left( -\infty ; m \right)\Leftrightarrow 1\le m$ $\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4 ;5;6;7;8;9;10 \right\}$ nên có 10 giá trị thỏa mãn.
Bảng biến thiên
Cho${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-m=0 \left( 1 \right) \\
& 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}}=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Trường hợp 1: Nếu $m=0$ $\Rightarrow $ phương trình ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$ $\Rightarrow $ không thỏa mãn nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ; 1 \right)$ nên trường hợp này bị loại.
Trường hợp 2: Nếu $m>0$ $\Rightarrow $ phương trình ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=m$ ( do phương trình $\left( 2 \right)$ vô nghiệm)
Ta có $3\left| x-m \right|+{{m}^{2}}>0 \forall x<1$ $\Rightarrow {f}'\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)>0 \forall x\in \left( -\infty ; 1 \right)$ nên ${g}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow x<m$.
$\Rightarrow $ hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ; 1 \right)$ $\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)<0 \forall x\in \left( -\infty ; 1 \right)$
$\Leftrightarrow \left( -\infty ; 1 \right)\subset \left( -\infty ; m \right)\Leftrightarrow 1\le m$ $\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4 ;5;6;7;8;9;10 \right\}$ nên có 10 giá trị thỏa mãn.
Đáp án C.