Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-18{{x}^{2}}+4$. Có bao...

$f\left( x \right)={{x}^{4}}-18{{x}^{2}}+4$, TXĐ $D=\mathbb{R}$.
${f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-36x$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-36x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm 3 \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)$, TXĐ $D=\mathbb{R}$.
${g}'\left( x \right)=\left( 2x+2 \right){f}'\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x+2=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& {{x}^{2}}+2x+3=0\text{ } \\
& {{x}^{2}}+2x+3=3\text{ } \\
& {{x}^{2}}+2x+3=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên:
$g\left( -1 \right)=f\left( 2 \right)=-52$
$g\left( -2 \right)=f\left( 3 \right)=-77; $ $g\left( 0 \right)=f\left( 3 \right)=-77; $ $g\left( -3 \right)=f\left( 6 \right)=652; $ $g\left( 2 \right)=f\left( 11 \right)=12467$
Ta thấy hàm số $g\left( x \right)$ nhận đường thẳng $x=-1$ làm trục đối xứng.
Do đó tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( -3;2 \right)$ của phương trình $f\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)=m$ bằng $-4$ khi nó có bốn nghiệm phân biệt.
Yêu cầu bài toán tương đương với $-77<m<-52$.
Kết luận: Vậy có 24 giá trị $m$ nguyên thỏa mãn đề bài.