Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+x-{{3}^{m}}$. Có tất cả...

Đặt $t=f\left( x \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)=x \\
& f\left( x \right)=t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( t \right)-f\left( x \right)=x-t\Rightarrow f\left( t \right)+t=f\left( x \right)+x$
Ta có $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1>0,\forall x$
$\Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow f\left( x \right)+x$ cũng là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
Suy ra $f\left( u \right)+u$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
Do đó $f\left( t \right)+t=f\left( x \right)+x$
$\Leftrightarrow t=x\Leftrightarrow f\left( x \right)=x\Leftrightarrow {{x}^{3}}+x-{{3}^{m}}=x\Leftrightarrow {{x}^{3}}={{3}^{m}}$
Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình ${{x}^{3}}={{3}^{m}}$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1;3 \right]$
Dễ dàng thấy được $1\le {{x}^{3}}\le 27,\forall x\in \left[ 1;3 \right]$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 1\le {{3}^{m}}\le 27\Leftrightarrow 0\le m\le 3$. Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên cần tìm