Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+mx$ với tham số...

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2x+m$. Xét ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+2x+m=0$.
Để hàm số có cực trị thì ${\Delta }'=1-3m>0\Leftrightarrow m<\dfrac{1}{3}\left( * \right)$.
Gọi ${{x}_{0}}$ là điểm cực trị của hàm số mà giá trị cực trị tương ứng là 1. Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( {{x}_{0}} \right)=3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}+m=0 \\
& f\left( {{x}_{0}} \right)=x_{0}^{3}+x_{0}^{2}+m{{x}_{0}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-\left( 3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}} \right) \\
& x_{0}^{3}+x_{0}^{2}-\left( 3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}} \right){{x}_{0}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& {{x}_{0}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $m=-1$ hàm số trở thành: $f\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x$
${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( -1 \right)=1 \\
& f\left( \dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{-5}{27} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy giá trị cực trị còn lại của hàm số là $\dfrac{-5}{27}$.