Cho hàm số $f (x) = x^{3} + x^{2} + m x$ với tham số...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = x^{3} + x^{2} + m x

với tham số thực m. Biết rằng hàm số có một giá trị cực trị là

y = 1

. Giá trị cực trị còn lại của hàm số bằng
A. 1.
B.

\frac{- 5}{27}

.
C.

\frac{1}{3}

.
D. 0.

Tập xác định:

D = R

.
Ta có:

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x + m

. Xét

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 2 x + m = 0

.
Để hàm số có cực trị thì

Δ^{'} = 1 - 3 m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{3} (*)

.
Gọi

x_{0}

là điểm cực trị của hàm số mà giá trị cực trị tương ứng là 1. Ta có:

{\begin{aligned} f^{'} (x_{0}) = 3 x_{0}^{2} + 2 x_{0} + m = 0 \\ f (x_{0}) = x_{0}^{3} + x_{0}^{2} + m x_{0} = 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m = - (3 x_{0}^{2} + 2 x_{0}) \\ x_{0}^{3} + x_{0}^{2} - (3 x_{0}^{2} + 2 x_{0}) x_{0} = 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m = - 1 \\ x_{0} = - 1 \end{aligned}

.
Với

m = - 1

hàm số trở thành:

f (x) = x^{3} + x^{2} - x

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = - 1 \\ x = \frac{1}{3} \end{aligned} \Rightarrow [\begin{aligned} f (- 1) = 1 \\ f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5}{27} \end{aligned}

.
Vậy giá trị cực trị còn lại của hàm số là

\frac{- 5}{27}

.

Đáp án B.

Cho hàm số f(x)=x3+x2+mx với tham số...