Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2-m \right)x+2.$ Để hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 cực trị thì tất cả các giá trị thực của tham số m tìm được có dạng $\dfrac{a}{b}<m<c$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}.$ Khi đó, $S=a-b+c$ bằng
A. $S=0.$
B. $S=1.$
C. $S=2.$
D. $S=3.$
A. $S=0.$
B. $S=1.$
C. $S=2.$
D. $S=3.$
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)x+2-m.$
Để hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 cực trị $\Rightarrow $ Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 cực trị dương phân biệt.
$\Rightarrow $ Phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-3\left( 2-m \right)>0 \\
& S=\dfrac{2\left( 2m-1 \right)}{3}>0 \\
& P=\dfrac{2-m}{3}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{m}^{2}}-m-5>0 \\
& m>\dfrac{1}{2} \\
& m<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{5}{4} \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \dfrac{1}{2}<m<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{5}{4}<m<2.$
Vậy $S=a-b+c=3.$
Để hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 cực trị $\Rightarrow $ Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 cực trị dương phân biệt.
$\Rightarrow $ Phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-3\left( 2-m \right)>0 \\
& S=\dfrac{2\left( 2m-1 \right)}{3}>0 \\
& P=\dfrac{2-m}{3}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{m}^{2}}-m-5>0 \\
& m>\dfrac{1}{2} \\
& m<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{5}{4} \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \dfrac{1}{2}<m<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{5}{4}<m<2.$
Vậy $S=a-b+c=3.$
Đáp án D.