Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-\left( 2m+1...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = x^{3} - (2 m + 1) x^{2} + 3 m x - m

có đồ thị

(C_{m})

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc

(- 2018; 2018]

để đồ thị

(C_{m})

có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành.
A. 4033
B. 4034
C. 4035
D. 4036

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow f (x) = 0

có ba nghiệm phân biệt (*).
Ta có

x^{3} - (2 m + 1) x^{2} + 3 m x - m = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 2 m x + m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 1 \\ \underset{g (x)}{\underset{⏟}{x^{2} - 2 m x + m = 0}} \end{aligned}

.
Do đó (*)

\Leftrightarrow g (x) = 0

có hai nghiệm phân biệt khác 1

\Rightarrow {\begin{aligned} Δ^{'} = m^{2} - m > 0 \\ g (1) \neq 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m > 1 \\ m < 0 \end{aligned}

.
Kết hợp với

m \in (- 2018; 2018]

và

m \in Z \Rightarrow

có

2017 + 2017 = 4034

số cần tìm.

Đáp án B.