Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ với $a, b, c$ là các số thực. Biết hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là $-5$ và $2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}$ và $y=1$ bằng
A. $\ln 3$.
B. $\ln 7$.
C. $3\ln 2$.
D. $\ln 10$.
A. $\ln 3$.
B. $\ln 7$.
C. $3\ln 2$.
D. $\ln 10$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)$
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+{{{f}'}'}'\left( x \right)$ $={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+6$.
Theo giả thiết ta có phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm $m,n$ và $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( m \right)=-5 \\
& g\left( n \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Xét phương trình $\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}=1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( x \right)+6-f\left( x \right)=0 \\
& g\left( x \right)+6\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+6=0 \\
& g\left( x \right)+6\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=n \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích hình phẳng cần tính là:
$S=\left| \int\limits_{m}^{n}{\left( 1-\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6} \right)\text{d}x} \right|$ $=\left| \int\limits_{m}^{n}{\dfrac{g\left( x \right)+6-f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}}\text{d}x \right|$ $=\left| \int\limits_{m}^{n}{\dfrac{{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+6}{g\left( x \right)+6}\text{d}x} \right|$ $=\left| \int\limits_{m}^{n}{\dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}\text{d}x} \right|$ $=\left| \ln \left| g\left( x \right)+6 \right|\left| _{m}^{n} \right. \right|$ $=\left| \ln \left| g\left( n \right)+6 \right|-\ln \left| g\left( m \right)+6 \right| \right|$ $=\left| \ln 8 \right|$ $=3\ln 2$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+{{{f}'}'}'\left( x \right)$ $={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+6$.
Theo giả thiết ta có phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm $m,n$ và $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( m \right)=-5 \\
& g\left( n \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Xét phương trình $\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}=1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( x \right)+6-f\left( x \right)=0 \\
& g\left( x \right)+6\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+6=0 \\
& g\left( x \right)+6\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=n \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích hình phẳng cần tính là:
$S=\left| \int\limits_{m}^{n}{\left( 1-\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6} \right)\text{d}x} \right|$ $=\left| \int\limits_{m}^{n}{\dfrac{g\left( x \right)+6-f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}}\text{d}x \right|$ $=\left| \int\limits_{m}^{n}{\dfrac{{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+6}{g\left( x \right)+6}\text{d}x} \right|$ $=\left| \int\limits_{m}^{n}{\dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}\text{d}x} \right|$ $=\left| \ln \left| g\left( x \right)+6 \right|\left| _{m}^{n} \right. \right|$ $=\left| \ln \left| g\left( n \right)+6 \right|-\ln \left| g\left( m \right)+6 \right| \right|$ $=\left| \ln 8 \right|$ $=3\ln 2$.
Đáp án C.