Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ với a, b, c là các số thực. Biết hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là 4 và 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số $y=\dfrac{2f\left( x \right)}{g\left( x \right)+6}$ và $y=2$ là
A. $2\ln 2$.
B. $\ln 5$.
C. $2\ln 5$.
D. $\ln 2$.
A. $2\ln 2$.
B. $\ln 5$.
C. $2\ln 5$.
D. $\ln 2$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b;{f}''\left( x \right)=6x+2a;{f}'''\left( x \right)=6$ ;
$g\left( x \right)=f\left( x \right)-{f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)+6$.
Do $g\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là 4 và 8 nên ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $ với $ g\left( {{x}_{1}} \right)=4 $, $ g\left( {{x}_{2}} \right)=8$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường $y=\dfrac{2f\left( x \right)}{g\left( x \right)-6}$ và $y=2$ là $\dfrac{2f\left( x \right)}{g\left( x \right)-6}=2$
$\Leftrightarrow 2f\left( x \right)=2g\left( x \right)-12$
$\Leftrightarrow 2f\left( x \right)=2f\left( x \right)-2{f}'\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)-12$
$\Leftrightarrow 2{f}'\left( x \right)-2{f}''\left( x \right)+12=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)+6=0$
$\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{2f\left( x \right)}{g\left( x \right)-6}$ và $y=2$ là:
$S=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{2f\left( x \right)}{g\left( x \right)-6}-2 \right)dx} \right|=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{2f\left( x \right)-2g\left( x \right)+12}{g\left( x \right)-6} \right)dx} \right|=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{2{f}'\left( x \right)-2{f}''\left( x \right)+12}{g\left( x \right)-18} \right)dx} \right|$
$=2\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)-6} \right)dx} \right|=2\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)-6} \right)dx} \right|=2\left| \left. \ln \left| g\left( x \right)-6 \right| \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|=2\left| \ln 2-\ln 10 \right|=2\ln 5$.
$g\left( x \right)=f\left( x \right)-{f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)+6$.
Do $g\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là 4 và 8 nên ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $ với $ g\left( {{x}_{1}} \right)=4 $, $ g\left( {{x}_{2}} \right)=8$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường $y=\dfrac{2f\left( x \right)}{g\left( x \right)-6}$ và $y=2$ là $\dfrac{2f\left( x \right)}{g\left( x \right)-6}=2$
$\Leftrightarrow 2f\left( x \right)=2g\left( x \right)-12$
$\Leftrightarrow 2f\left( x \right)=2f\left( x \right)-2{f}'\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)-12$
$\Leftrightarrow 2{f}'\left( x \right)-2{f}''\left( x \right)+12=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)+6=0$
$\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{2f\left( x \right)}{g\left( x \right)-6}$ và $y=2$ là:
$S=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{2f\left( x \right)}{g\left( x \right)-6}-2 \right)dx} \right|=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{2f\left( x \right)-2g\left( x \right)+12}{g\left( x \right)-6} \right)dx} \right|=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{2{f}'\left( x \right)-2{f}''\left( x \right)+12}{g\left( x \right)-18} \right)dx} \right|$
$=2\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)-6} \right)dx} \right|=2\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)-6} \right)dx} \right|=2\left| \left. \ln \left| g\left( x \right)-6 \right| \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|=2\left| \ln 2-\ln 10 \right|=2\ln 5$.
Đáp án C.