Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+1$. Với giá trị nào của...

Xét $g\left( x \right)=f\left( x \right)+m$ trên $\left[ 0; 2 \right]$ có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3$ ; ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \in \left[ 0; 2 \right] \\
& x=-1 \notin \left[ 0; 2 \right] \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $g\left( 0 \right)=m+1, g\left( 1 \right)=m-1, g\left( 2 \right)=m+3$
Khi đó: $\underset{[0; 2]}{\mathop{\max }} g(x)=g\left( 2 \right)=m+3; \underset{[0; 2]}{\mathop{\min }} g(x)=g\left( 1 \right)=m-1$
Suy ra: $\underset{[0; 2]}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=\max \left\{ \left| m-1 \right|; \left| m+3 \right| \right\}$
Trường hợp 1: $\left( m-1 \right)+\left( m+3 \right)\ge 0\Leftrightarrow m\ge -1$
$\underset{[0; 2]}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=m+3\ge -1+3=2$. Dấu $''=''$ xảy ra khi $m=-1$
Trường hợp 2: $\left( m-1 \right)+\left( m+3 \right)\le 0\Leftrightarrow m\le -1$
$\underset{[0; 2]}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=-m+1\ge -(-1)+1=2$. Dấu $''=''$ xảy ra khi $m=-1$
Vậy $m=-1$ thỏa mãn đề bài.