Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2+m^2-5m$...

Chọn A
Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x$ ; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=2\end{array}$.
Do $f\left(0\right)=m^2-5m$ ; $f\left(2\right)=m^2-5m-4$ ; $f\left(3\right)=m^2-5m$ nên
$m^2-5m-4\le f\left(x\right)\le m^2-5m\mathrm{\forall }x\in [0;3].$
Vì $\underset{[0;3]}{min}\left|f\left(x\right)\right|=2\ne 0$ nên xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: $m^2-5m-4>0$ (*)
Khi đó $f\left(x\right)>0\mathrm{\forall }x\in [0;3]$ và $\left|f\left(x\right)\right|=f\left(x\right)\ge m^2-5m-4\mathrm{\forall }x\in [0;3]$.
Suy ra $\underset{[0;3]}{min}\left|f\left(x\right)\right|=m^2-5m-4$. Do $\underset{[0;3]}{min}\left|f\left(x\right)\right|=2$ nên $m^2-5m-4=2\iff m^2-5m-6=0\iff [\begin{array}{rl}& m=6\\ & m=-1\end{array}$ ( thỏa mãn điều kiện (*))
Trường hợp 2: $m^2-5m<0$.
Khi đó $f\left(x\right)<0\mathrm{\forall }x\in [0;3]$ và $\left|f\left(x\right)\right|=-f\left(x\right)\ge -m^2+5m\mathrm{\forall }x\in [0;3]$.
Suy ra $\underset{[0;3]}{min}\left|f\left(x\right)\right|=-m^2+5m$. Do $\underset{[0;3]}{min}\left|f\left(x\right)\right|=2$ nên $-m^2+5m=2\iff m^2-5m+2=0\iff m={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{17}}{2}}$ ( không thỏa mãn $m$ là số nguyên).
Vậy có hai giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điề kiện là $m=6;m=-1.$ Suy ra tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là: $6+(-1)=5$.