Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+{{m}^{2}}-5m$. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \left| f\left( x \right) \right|$ trên đoạn $\left[ 0 ; 3 \right]$ bằng 2.
A. $5$.
B. 10.
C. $-10$.
D. $-5$.
A. $5$.
B. 10.
C. $-10$.
D. $-5$.
Chọn A
Ta có: $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x$ ; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x = 0 \\
& x = 2 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $f\left( 0 \right) = {{m}^{2}}- 5m$ ; $f\left( 2 \right) = {{m}^{2}}- 5m - 4$ ; $f\left( 3 \right) = {{m}^{2}}- 5m$ nên
${{m}^{2}} - 5m -4 \le f\left( x \right) \le {{m}^{2}} - 5m \forall x \in \left[ 0; 3 \right].$
Vì $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right| = 2 \ne 0$ nên xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: ${{m}^{2}} - 5m -4 > 0$ (*)
Khi đó $f\left( x \right) > 0 \forall x \in \left[ 0; 3 \right]$ và $\left| f\left( x \right) \right| = f\left( x \right) \ge {{m}^{2}} - 5m -4 \forall x\in \left[ 0; 3 \right]$.
Suy ra $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right| = {{m}^{2}} - 5m -4$. Do $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right| = 2$ nên ${{m}^{2}} - 5m -4 = 2 \Leftrightarrow {{m}^{2}} - 5m -6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m = 6 \\
& m = -1 \\
\end{aligned} \right.$ ( thỏa mãn điều kiện (*))
Trường hợp 2: ${{m}^{2}} - 5m < 0$.
Khi đó $f\left( x \right) < 0 \forall x \in \left[ 0; 3 \right]$ và $\left| f\left( x \right) \right| = -f\left( x \right) \ge -{{m}^{2}} + 5m \forall x\in \left[ 0; 3 \right]$.
Suy ra $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right| = -{{m}^{2}} + 5m $. Do $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right| = 2$ nên $-{{m}^{2}} + 5m = 2 \Leftrightarrow {{m}^{2}} - 5m +2 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$ ( không thỏa mãn $m$ là số nguyên).
Vậy có hai giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điề kiện là $m = 6; m = -1.$ Suy ra tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là: $6 +\left( -1 \right) = 5$.
Ta có: $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x$ ; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x = 0 \\
& x = 2 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $f\left( 0 \right) = {{m}^{2}}- 5m$ ; $f\left( 2 \right) = {{m}^{2}}- 5m - 4$ ; $f\left( 3 \right) = {{m}^{2}}- 5m$ nên
${{m}^{2}} - 5m -4 \le f\left( x \right) \le {{m}^{2}} - 5m \forall x \in \left[ 0; 3 \right].$
Vì $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right| = 2 \ne 0$ nên xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: ${{m}^{2}} - 5m -4 > 0$ (*)
Khi đó $f\left( x \right) > 0 \forall x \in \left[ 0; 3 \right]$ và $\left| f\left( x \right) \right| = f\left( x \right) \ge {{m}^{2}} - 5m -4 \forall x\in \left[ 0; 3 \right]$.
Suy ra $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right| = {{m}^{2}} - 5m -4$. Do $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right| = 2$ nên ${{m}^{2}} - 5m -4 = 2 \Leftrightarrow {{m}^{2}} - 5m -6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m = 6 \\
& m = -1 \\
\end{aligned} \right.$ ( thỏa mãn điều kiện (*))
Trường hợp 2: ${{m}^{2}} - 5m < 0$.
Khi đó $f\left( x \right) < 0 \forall x \in \left[ 0; 3 \right]$ và $\left| f\left( x \right) \right| = -f\left( x \right) \ge -{{m}^{2}} + 5m \forall x\in \left[ 0; 3 \right]$.
Suy ra $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right| = -{{m}^{2}} + 5m $. Do $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right| = 2$ nên $-{{m}^{2}} + 5m = 2 \Leftrightarrow {{m}^{2}} - 5m +2 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$ ( không thỏa mãn $m$ là số nguyên).
Vậy có hai giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điề kiện là $m = 6; m = -1.$ Suy ra tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là: $6 +\left( -1 \right) = 5$.
Đáp án A.