Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-2m+2 \right)x+m$ (với $m$ là tham số ) có giá trị lớn nhất trên $\left[ -1; 1 \right]$ bằng 2, khi đó tích các giá trị của tham số $m$ là
A. $\dfrac{5}{3}$.
B. $\dfrac{2}{3}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $0$.
A. $\dfrac{5}{3}$.
B. $\dfrac{2}{3}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $0$.
Hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-2m+2 \right)x+m$ liên tục trên $\left[ -1; 1 \right]$.
$f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+3\left( {{m}^{2}}-2m+2 \right)=3\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{2}} \right]\ge 0,\forall x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow f\left( x \right)$
luôn đồng biến trên $\left[ -1; 1 \right]$, suy ra $\underset{\left[ -1; 1 \right]}{\mathop{\max f\left( x \right)}} =f\left( 1 \right)=2$ $\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-5m+4=2\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-5m+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Tích các giá trị của tham số $m$ là $\dfrac{2}{3}$.
$f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+3\left( {{m}^{2}}-2m+2 \right)=3\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{2}} \right]\ge 0,\forall x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow f\left( x \right)$
luôn đồng biến trên $\left[ -1; 1 \right]$, suy ra $\underset{\left[ -1; 1 \right]}{\mathop{\max f\left( x \right)}} =f\left( 1 \right)=2$ $\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-5m+4=2\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-5m+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Tích các giá trị của tham số $m$ là $\dfrac{2}{3}$.
Đáp án B.