Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2m+1$ ( $m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|\ge 10.$ Số các giá trị nguyên của $S$ trong đoạn $\left[ -30;30 \right]$ là
A. 61
B. 56
C. 57
D. 55
A. 61
B. 56
C. 57
D. 55
Ta có $f'=3{{x}^{2}}+6x>0\forall x\in \left[ 1;3 \right]$ nên hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 1;3 \right],$ tức là $f\left( 1 \right)<f\left( 3 \right).$
Lại có $f\left( 1 \right)=5-2m,f\left( 3 \right)=55-2m.$ Ta xét các trường hợp:
+) Trường hợp 1: $f\left( 3 \right)\le 0\Leftrightarrow m\ge \dfrac{55}{2}.$
Khi đó $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=\left| f\left( 3 \right) \right|=2m-55$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $2m-5+55-2m\ge 10\Leftrightarrow m\ge \dfrac{35}{2}.$
Kết hợp $m\ge \dfrac{55}{2}$ có $m\ge \dfrac{55}{2}\left( 1 \right)$
+) Trường hợp 2: $f\left( 1 \right)<0<f\left( 3 \right)\Leftrightarrow 5-2m<0<55-2m\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}<m<\dfrac{55}{2}.$
Khi đó $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=0.$
Nếu $\left| f\left( 1 \right) \right|<f\left( 3 \right)\Leftrightarrow 2m-5<55-2m\Leftrightarrow m<15$ thì $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=f\left( 3 \right)=55-2m$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $55-2m\ge 10\Leftrightarrow m\le \dfrac{45}{2}.$ Kết hợp $m<15$ suy ra $m<15\left( * \right).$
Nếu $\left| f\left( 1 \right) \right|\ge f\left( 3 \right)\Leftrightarrow 2m-5\ge 55-2m\Leftrightarrow m\ge 15$ thì $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\left| f\left( 1 \right) \right|=2m-5$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $2m-5\ge 10\Leftrightarrow m\ge \dfrac{15}{2}.$ Kết hợp $m\ge 15$ suy ra $m\ge 15\left( ** \right).$
Kết hợp $\left( * \right)$ và $\left( ** \right)$ với $\dfrac{5}{2}<m<\dfrac{55}{2}$ có $\dfrac{5}{2}<m<\dfrac{55}{2}\left( 2 \right)$
+) Trường hợp 3: $f\left( 1 \right)\ge 0\Leftrightarrow 5-2m\ge 0\Leftrightarrow m\le \dfrac{5}{2}.$
Khi đó $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=f\left( 3 \right)=55-2m$ và $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=f\left( 1 \right)=5-2m$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $55-2m+5-2m\ge 10\Leftrightarrow m\le \dfrac{25}{2}.$
Kết hợp $m\le \dfrac{5}{2}$ có $m\le \dfrac{5}{2}\left( 3 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ suy ra tập $S=\mathbb{R}.$
Vậy số các giá trị nguyên của $S$ trong đoạn $\left[ -30;30 \right]$ là 61.
Lại có $f\left( 1 \right)=5-2m,f\left( 3 \right)=55-2m.$ Ta xét các trường hợp:
+) Trường hợp 1: $f\left( 3 \right)\le 0\Leftrightarrow m\ge \dfrac{55}{2}.$
Khi đó $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=\left| f\left( 3 \right) \right|=2m-55$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $2m-5+55-2m\ge 10\Leftrightarrow m\ge \dfrac{35}{2}.$
Kết hợp $m\ge \dfrac{55}{2}$ có $m\ge \dfrac{55}{2}\left( 1 \right)$
+) Trường hợp 2: $f\left( 1 \right)<0<f\left( 3 \right)\Leftrightarrow 5-2m<0<55-2m\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}<m<\dfrac{55}{2}.$
Khi đó $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=0.$
Nếu $\left| f\left( 1 \right) \right|<f\left( 3 \right)\Leftrightarrow 2m-5<55-2m\Leftrightarrow m<15$ thì $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=f\left( 3 \right)=55-2m$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $55-2m\ge 10\Leftrightarrow m\le \dfrac{45}{2}.$ Kết hợp $m<15$ suy ra $m<15\left( * \right).$
Nếu $\left| f\left( 1 \right) \right|\ge f\left( 3 \right)\Leftrightarrow 2m-5\ge 55-2m\Leftrightarrow m\ge 15$ thì $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\left| f\left( 1 \right) \right|=2m-5$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $2m-5\ge 10\Leftrightarrow m\ge \dfrac{15}{2}.$ Kết hợp $m\ge 15$ suy ra $m\ge 15\left( ** \right).$
Kết hợp $\left( * \right)$ và $\left( ** \right)$ với $\dfrac{5}{2}<m<\dfrac{55}{2}$ có $\dfrac{5}{2}<m<\dfrac{55}{2}\left( 2 \right)$
+) Trường hợp 3: $f\left( 1 \right)\ge 0\Leftrightarrow 5-2m\ge 0\Leftrightarrow m\le \dfrac{5}{2}.$
Khi đó $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=f\left( 3 \right)=55-2m$ và $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=f\left( 1 \right)=5-2m$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $55-2m+5-2m\ge 10\Leftrightarrow m\le \dfrac{25}{2}.$
Kết hợp $m\le \dfrac{5}{2}$ có $m\le \dfrac{5}{2}\left( 3 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ suy ra tập $S=\mathbb{R}.$
Vậy số các giá trị nguyên của $S$ trong đoạn $\left[ -30;30 \right]$ là 61.
Đáp án A.