Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2m+1$ ( $m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho...

Ta có nên hàm số đồng biến trên đoạn tức là
Lại có Ta xét các trường hợp:
+) Trường hợp 1:
Khi đó nên từ yêu cầu bài toán suy ra
Kết hợp có
+) Trường hợp 2:
Khi đó
Nếu thì nên từ yêu cầu bài toán suy ra Kết hợp suy ra
Nếu thì nên từ yêu cầu bài toán suy ra Kết hợp suy ra
Kết hợp và với có
+) Trường hợp 3:
Khi đó và nên từ yêu cầu bài toán suy ra
Kết hợp có
Từ suy ra tập
Vậy số các giá trị nguyên của trong đoạn là 61.