Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$. Tìm tổng...

Đặt $t={{x}^{3}}-3x\begin{matrix}
{} & \left( 1 \right) \\
\end{matrix} $. Ta có BBT của hàm số $ t={{x}^{3}}-3x$:
Khi đó ta có: $f\left( {{x}^{3}}-3x \right)=m\Leftrightarrow f\left( t \right)=m\Leftrightarrow {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+2=m\begin{matrix}
{} & \left( 2 \right) \\
\end{matrix}$
Để phương trình (1) có 7 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 3 nghiệm t trong đó có 2 nghiệm $t\in \left( -2;2 \right)$ và 1 nghiệm $t>2$ hoặc $t<-2$.
Ta có BBT của hàm số $y={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+2$ :
Dựa vào BBT, để thỏa mãn yêu cầu trên thì $m\in \left( -2;2 \right)\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ -1;0;1 \right\}\Rightarrow \sum\limits_{-1}^{1}{m}=0$