Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}$. Số giá trị nguyên của m để phương trình $f\left( {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2 \right)=m$ (1) có đúng 4 nghiệm phân biệt là
A. 14
B. 16
C. 17
D. 15
A. 14
B. 16
C. 17
D. 15
Bảng biến thiên (I) của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}$.
Bảng biến thiên (II) của hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2$.
Theo BBT (1), ta xét các trường hợp:
+ Nếu $m<-20$ : $f\left( {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2 \right)=m\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2={{k}_{1}}<-2$ (2)
Theo BBT (II), phương trình (2) vô nghiệm $\Rightarrow $ PT (1) vô nghiệm (loại).
+ Nếu $-20<m<-4$ : $f\left( {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2 \right)=m\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2={{k}_{2}}\in \left( -2;-1 \right)$ (3)
Theo BBT (II), phương trình (3) có 4 nghiệm $\Rightarrow $ PT (1) có 4 nghiệm (nhận).
+ Nếu $m=-4$ : $f\left( {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2 \right)=m\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2=-1\left( 4 \right) \\
& {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2=2\left( 5 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Theo BBT (II), PT (4) có 4 nghiệm, PT (5) có 3 nghiệm $\Rightarrow $ PT (1) có 7 nghiệm (loại).
+ Nếu $-4<m<0$ : $f\left( {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2 \right)=m\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2={{k}_{3}}\in \left( -1;0 \right)\left( 6 \right) \\
& {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2={{k}_{4}}\in \left( 0;2 \right)\left( 7 \right) \\
& {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2={{k}_{5}}\in \left( 2;3 \right)\left( 8 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Theo BBT (II), PT (6), (7) đều có 4 nghiệm pb, PT (8) có 2 nghiệm $\Rightarrow $ PT (1) có 10 nghiệm (loại).
+ Nếu $m=0$ : $f\left( {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2 \right)=m\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2=0\left( 9 \right) \\
& {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2=3\left( 10 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Theo BBT (II), PT (9) có 4 nghiệm, PT (10) có 2 nghiệm $\Rightarrow $ PT (1) có 6 nghiệm (loại).
+ Nếu $m>0$ : $f\left( {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2 \right)=m\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2={{k}_{6}}>3$
Theo BBT (II), … $\Rightarrow $ PT (1) có 2 nghiệm (loại).
Vậy PT (1) có 4 nghiệm pb khi $-20<m<-4$, mà m nguyên nên $-19\le m\le -5\Rightarrow $ số giá trị nguyên của m là $-5-\left( -19 \right)+1=15$.
Bảng biến thiên (II) của hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2$.
Theo BBT (1), ta xét các trường hợp:
+ Nếu $m<-20$ : $f\left( {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2 \right)=m\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2={{k}_{1}}<-2$ (2)
Theo BBT (II), phương trình (2) vô nghiệm $\Rightarrow $ PT (1) vô nghiệm (loại).
+ Nếu $-20<m<-4$ : $f\left( {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2 \right)=m\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2={{k}_{2}}\in \left( -2;-1 \right)$ (3)
Theo BBT (II), phương trình (3) có 4 nghiệm $\Rightarrow $ PT (1) có 4 nghiệm (nhận).
+ Nếu $m=-4$ : $f\left( {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2 \right)=m\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2=-1\left( 4 \right) \\
& {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2=2\left( 5 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Theo BBT (II), PT (4) có 4 nghiệm, PT (5) có 3 nghiệm $\Rightarrow $ PT (1) có 7 nghiệm (loại).
+ Nếu $-4<m<0$ : $f\left( {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2 \right)=m\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2={{k}_{3}}\in \left( -1;0 \right)\left( 6 \right) \\
& {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2={{k}_{4}}\in \left( 0;2 \right)\left( 7 \right) \\
& {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2={{k}_{5}}\in \left( 2;3 \right)\left( 8 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Theo BBT (II), PT (6), (7) đều có 4 nghiệm pb, PT (8) có 2 nghiệm $\Rightarrow $ PT (1) có 10 nghiệm (loại).
+ Nếu $m=0$ : $f\left( {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2 \right)=m\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2=0\left( 9 \right) \\
& {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2=3\left( 10 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Theo BBT (II), PT (9) có 4 nghiệm, PT (10) có 2 nghiệm $\Rightarrow $ PT (1) có 6 nghiệm (loại).
+ Nếu $m>0$ : $f\left( {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2 \right)=m\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{\text{x}}^{2}}+2={{k}_{6}}>3$
Theo BBT (II), … $\Rightarrow $ PT (1) có 2 nghiệm (loại).
Vậy PT (1) có 4 nghiệm pb khi $-20<m<-4$, mà m nguyên nên $-19\le m\le -5\Rightarrow $ số giá trị nguyên của m là $-5-\left( -19 \right)+1=15$.
Đáp án D.