Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-3{\text{x}}^2$. Số giá...

Bảng biến thiên (I) của hàm số $f\left(x\right)=x^3-3{\text{x}}^2$.

Bảng biến thiên (II) của hàm số $g\left(x\right)=x^4-4{\text{x}}^2+2$.

Theo BBT (1), ta xét các trường hợp:
+ Nếu $m<-20$ : $f(x^4-4{\text{x}}^2+2)=m\iff x^4-4{\text{x}}^2+2=k_1<-2$ (2)
Theo BBT (II), phương trình (2) vô nghiệm $\Rightarrow$ PT (1) vô nghiệm (loại).
+ Nếu $-20<m<-4$ : $f(x^4-4{\text{x}}^2+2)=m\iff x^4-4{\text{x}}^2+2=k_2\in (-2;-1)$ (3)
Theo BBT (II), phương trình (3) có 4 nghiệm $\Rightarrow$ PT (1) có 4 nghiệm (nhận).
+ Nếu $m=-4$ : $f(x^4-4{\text{x}}^2+2)=m\iff [\begin{array}{rl}& x^4-4{\text{x}}^2+2=-1\left(4\right)\\ & x^4-4{\text{x}}^2+2=2\left(5\right)\end{array}$
Theo BBT (II), PT (4) có 4 nghiệm, PT (5) có 3 nghiệm $\Rightarrow$ PT (1) có 7 nghiệm (loại).
+ Nếu $-4<m<0$ : $f(x^4-4{\text{x}}^2+2)=m\iff [\begin{array}{rl}& x^4-4{\text{x}}^2+2=k_3\in (-1;0)\left(6\right)\\ & x^4-4{\text{x}}^2+2=k_4\in (0;2)\left(7\right)\\ & x^4-4{\text{x}}^2+2=k_5\in (2;3)\left(8\right)\end{array}$
Theo BBT (II), PT (6), (7) đều có 4 nghiệm pb, PT (8) có 2 nghiệm $\Rightarrow$ PT (1) có 10 nghiệm (loại).
+ Nếu $m=0$ : $f(x^4-4{\text{x}}^2+2)=m\iff [\begin{array}{rl}& x^4-4{\text{x}}^2+2=0\left(9\right)\\ & x^4-4{\text{x}}^2+2=3\left(10\right)\end{array}$
Theo BBT (II), PT (9) có 4 nghiệm, PT (10) có 2 nghiệm $\Rightarrow$ PT (1) có 6 nghiệm (loại).
+ Nếu $m>0$ : $f(x^4-4{\text{x}}^2+2)=m\iff x^4-4{\text{x}}^2+2=k_6>3$
Theo BBT (II), … $\Rightarrow$ PT (1) có 2 nghiệm (loại).
Vậy PT (1) có 4 nghiệm pb khi $-20<m<-4$, mà m nguyên nên $-19\le m\le -5\Rightarrow$ số giá trị nguyên của m là $-5-(-19)+1=15$.