Cho hàm số ${f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x}$. Có bao nhiêu giá...

+ Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$
+ Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2+\sin x \right)+m$. Đặt $t=2+\sin x$, khi đó $1\le t\le 3$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Ta có, bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$.
+ Từ bảng biến thiên ta suy ra giá trị lớn nhất của hàm số $\left| g\left( x \right) \right|$ có thể là $\left| -1+m \right|$ hoặc $\left| 3+m \right|$
* Trường hợp 1: $\left| -1+m \right|=2023\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& -1+m=2023 \\
& -1+m=-2023 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2024 \\
& m=-2022 \\
\end{aligned} \right. $. Thử lại $ m=-2022$ thoả mãn.
* Trường hợp 2: $\left| 3+m \right|=2023\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3+m=2023 \\
& 3+m=-2023 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2021 \\
& m=-2026 \\
\end{aligned} \right. $. Thử lại $ m=2021$ thoả mãn.
Vậy có hai giá trị $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán là $m=-2022$ và $m=2021$.