Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+1$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)+m \right|$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$ bằng $8$. Tính tổng các phần tử của $S$.
A. $-7$.
B. $2$.
C. $0$.
D. $5$.
A. $-7$.
B. $2$.
C. $0$.
D. $5$.
Khi $x\in \left[ -1;3 \right]\Rightarrow f\left( x \right)\in \left[ 0;4 \right]$. Đặt $f\left( x \right)=t\in \left[ 0;4 \right]$.
Khi đó, yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow h\left( t \right)=\left| {{t}^{2}}-2t+m \right|$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$ bằng 8
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& h\left( t \right)\le 8, \forall t\in \left[ 0;4 \right] \\
& \exists {{t}_{0}}\in \left[ 0;4 \right]:f\left( {{t}_{0}} \right)=8 \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Với mọi $t\in \left[ 0;4 \right]$, ta có: $\left| {{t}^{2}}-2t+m \right|\le 8\Leftrightarrow -8\le {{t}^{2}}-2t+m\le 8$
$\Leftrightarrow -{{t}^{2}}+2t-8\le m\le -{{t}^{2}}+2t+8\Leftrightarrow \underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\max }} \left( -{{t}^{2}}+2t-8 \right)\le m\le \underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\min }} \left( -{{t}^{2}}+2t+8 \right)\Leftrightarrow -7\le m\le 0$.
Đồng thời từ $\left( * \right)$ suy ra $\left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-7 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy tổng các phần tử của $ S $ là $ -7$.
Khi đó, yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow h\left( t \right)=\left| {{t}^{2}}-2t+m \right|$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$ bằng 8
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& h\left( t \right)\le 8, \forall t\in \left[ 0;4 \right] \\
& \exists {{t}_{0}}\in \left[ 0;4 \right]:f\left( {{t}_{0}} \right)=8 \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Với mọi $t\in \left[ 0;4 \right]$, ta có: $\left| {{t}^{2}}-2t+m \right|\le 8\Leftrightarrow -8\le {{t}^{2}}-2t+m\le 8$
$\Leftrightarrow -{{t}^{2}}+2t-8\le m\le -{{t}^{2}}+2t+8\Leftrightarrow \underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\max }} \left( -{{t}^{2}}+2t-8 \right)\le m\le \underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\min }} \left( -{{t}^{2}}+2t+8 \right)\Leftrightarrow -7\le m\le 0$.
Đồng thời từ $\left( * \right)$ suy ra $\left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-7 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy tổng các phần tử của $ S $ là $ -7$.
Đáp án A.