Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ và có $y={f}'\left( x \right)$ là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực đại của hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{\left| x \right|}^{3}} \right)-\left| x \right|$ là
A. $0$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $2$.
A. $0$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $2$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}} \right)-x$
Ta có ${h}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}{f}'\left( {{x}^{3}} \right)-1$
${h}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{3}} \right)=\dfrac{1}{3{{x}^{2}}}$ $\left( x\ne 0 \right)$ $\left( 1 \right)$
Đặt ${{x}^{3}}=t$ $\Rightarrow x=\sqrt[3]{t}\Rightarrow {{x}^{2}}=\sqrt[3]{{{t}^{2}}}$.
Khi đó $\left( 1 \right)$ trở thành: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{t}^{2}}}}$ (2)
Vẽ đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}$, $y={f}'\left( x \right)$ trên cùng hệ trục tọa độ $Oxy$, ta được:
Từ đồ thị suy ra phương trình (2) có hai nghiệm ${{t}_{1}}=a>0$ và ${{t}_{2}}=b<0$.
$\Rightarrow \left( 1 \right)$ có hai nghiệm $x=\sqrt[3]{a}>0$ và $x=\sqrt[3]{b}<0$.
Bảng biến thiên của $h\left( x \right)$, $g\left( x \right)=h\left( \left| x \right| \right)$.
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $g\left( x \right)=h\left( \left| x \right| \right)=f\left( {{\left| x \right|}^{3}} \right)-\left| x \right|$ có $1$ điểm cực đại.
Ta có ${h}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}{f}'\left( {{x}^{3}} \right)-1$
${h}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{3}} \right)=\dfrac{1}{3{{x}^{2}}}$ $\left( x\ne 0 \right)$ $\left( 1 \right)$
Đặt ${{x}^{3}}=t$ $\Rightarrow x=\sqrt[3]{t}\Rightarrow {{x}^{2}}=\sqrt[3]{{{t}^{2}}}$.
Khi đó $\left( 1 \right)$ trở thành: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{t}^{2}}}}$ (2)
Vẽ đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}$, $y={f}'\left( x \right)$ trên cùng hệ trục tọa độ $Oxy$, ta được:
Từ đồ thị suy ra phương trình (2) có hai nghiệm ${{t}_{1}}=a>0$ và ${{t}_{2}}=b<0$.
$\Rightarrow \left( 1 \right)$ có hai nghiệm $x=\sqrt[3]{a}>0$ và $x=\sqrt[3]{b}<0$.
Bảng biến thiên của $h\left( x \right)$, $g\left( x \right)=h\left( \left| x \right| \right)$.
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $g\left( x \right)=h\left( \left| x \right| \right)=f\left( {{\left| x \right|}^{3}} \right)-\left| x \right|$ có $1$ điểm cực đại.
Đáp án C.