Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{1+f\left( \ln x \right)}{x}dx}=2$. Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}$ bằng
A. 1.
B. $2e$.
C. $e+1$.
D. 2.
A. 1.
B. $2e$.
C. $e+1$.
D. 2.
Ta có: $\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{1+f\left( \ln x \right)}{x}dx}=2\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{e}{\dfrac{1}{x}dx+}\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=2\Leftrightarrow \left. \left( \ln \left| x \right| \right) \right|_{1}^{e}+\int\limits_{1}^{e}{f\left( \ln x \right)d\left( \ln x \right)}=2$
$\Leftrightarrow 1+\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)d\left( u \right)}=2\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)d\left( u \right)}=1$ (Với $u=\ln x$ ).
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\left( x \right)}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)d\left( u \right)}=1$ (Tích phân không phụ thuộc vào biến).
$\Leftrightarrow 1+\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)d\left( u \right)}=2\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)d\left( u \right)}=1$ (Với $u=\ln x$ ).
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\left( x \right)}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)d\left( u \right)}=1$ (Tích phân không phụ thuộc vào biến).
Đáp án A.