Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{\dfrac{1}{2}}{x.f\left( 2x \right)dx}=1$ và $f\left( 1 \right)=-2$. Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)dx}$ bằng
A. 6
B. $-6$
C. 10
D. $-10$
A. 6
B. $-6$
C. 10
D. $-10$
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}d\left[ f\left( x \right) \right]}={{x}^{2}}.f\left( x \right)-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\left( {{x}^{2}} \right)}$
$=f\left( 1 \right)-\int\limits_{0}^{1}{2x.f\left( x \right)dx}=-2-2\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx}$
Xét $\int\limits_{0}^{\dfrac{1}{2}}{x.f\left( 2x \right)dx}=1$, đặt
$2x=t\Rightarrow 1=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{t}{2}.f\left( t \right)d\left( \dfrac{1}{2} \right)}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{t.f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx}$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx}=4\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)dx}=-2-2.4=-10$. Chọn D.
$=f\left( 1 \right)-\int\limits_{0}^{1}{2x.f\left( x \right)dx}=-2-2\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx}$
Xét $\int\limits_{0}^{\dfrac{1}{2}}{x.f\left( 2x \right)dx}=1$, đặt
$2x=t\Rightarrow 1=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{t}{2}.f\left( t \right)d\left( \dfrac{1}{2} \right)}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{t.f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx}$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx}=4\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)dx}=-2-2.4=-10$. Chọn D.
Đáp án D.