Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn: $-x{f}'\left( x \right).\ln x+f\left( x \right)=2{{x}^{2}}{{f}^{2}}\left( x \right), \forall x\in \left( 1; +\infty \right)$ và $f\left( e \right)=\dfrac{1}{{{e}^{2}}}$. Biết $f\left( x \right)>0, \forall x\in \left( 1; +\infty \right)$, diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=xf\left( x \right), y=0, x=e$ và $x={{e}^{2}}$ là
A. $S=\dfrac{5}{3}$.
B. $S=\dfrac{1}{2}$.
C. $S=2$.
D. $S=\dfrac{3}{2}$.
A. $S=\dfrac{5}{3}$.
B. $S=\dfrac{1}{2}$.
C. $S=2$.
D. $S=\dfrac{3}{2}$.
Giả thiết $\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{1}{x}f\left( x \right)-{f}'\left( x \right).\ln x}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=2x\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{\ln x}{f\left( x \right)} \right)}^{\prime }}=2x$ $\Rightarrow \dfrac{\ln x}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+C$.
+ $f\left( e \right)=\dfrac{1}{{{e}^{2}}}\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}\Rightarrow xf\left( x \right)=\dfrac{\ln x}{x}$.
+ Tính $S=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{\ln x}{x}}\text{d}x=\dfrac{1}{2}\left( {{\ln }^{2}}x \right)\mathop{|}_{e}^{{{e}^{2}}}=\dfrac{3}{2}$.
+ $f\left( e \right)=\dfrac{1}{{{e}^{2}}}\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}\Rightarrow xf\left( x \right)=\dfrac{\ln x}{x}$.
+ Tính $S=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{\ln x}{x}}\text{d}x=\dfrac{1}{2}\left( {{\ln }^{2}}x \right)\mathop{|}_{e}^{{{e}^{2}}}=\dfrac{3}{2}$.
Đáp án D.
