Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn ${{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}+f\left( x \right).{f}''\left( x \right)=2018x,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)={f}'\left( 0 \right)=1$. Gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=2.$ Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox.$
A. $\dfrac{8084\pi }{3}.$
B. $\dfrac{4036\pi }{3}.$
C. $\dfrac{8090\pi }{3}.$
D. $\dfrac{4032\pi }{3}.$
A. $\dfrac{8084\pi }{3}.$
B. $\dfrac{4036\pi }{3}.$
C. $\dfrac{8090\pi }{3}.$
D. $\dfrac{4032\pi }{3}.$
Ta có ${{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}+{f}'\left( x \right).{f}''\left( x \right)=2018x\Leftrightarrow {{\left( {f}'\left( x \right).f\left( x \right) \right)}^{\prime }}=2018x$
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right).f\left( x \right)=\mathop{\int }^{}2018xdx=1009{{x}^{2}}+{{C}_{1}}$ mà $f\left( 0 \right)={f}'\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=1$
Do đó ${f}'\left( x \right).f\left( x \right)=1009{{x}^{2}}+1\Leftrightarrow \mathop{\int }^{}f\left( x \right).{f}'\left( x \right)dx=\mathop{\int }^{}\left( 1009{{x}^{2}}+1 \right)dx$
$\Leftrightarrow \mathop{\int }^{}f\left( x \right)d\left[ f\left( x \right) \right]=\dfrac{1009}{3}{{x}^{3}}+x+{{C}_{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2}=\dfrac{1009}{3}{{x}^{3}}+x+{{C}_{2}}$
Mặt khác $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow {{C}_{2}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)=\dfrac{2018}{3}{{x}^{3}}+2x+1$
Vậy thể tích cần tính là $V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\mathop \int }} {{f}^{2}}\left( x \right)dx=\pi \underset{0}{\overset{2}{\mathop \int }} \left( \dfrac{2018}{3}{{x}^{3}}+2x+1 \right)dx=\dfrac{8090\pi }{3}.$
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right).f\left( x \right)=\mathop{\int }^{}2018xdx=1009{{x}^{2}}+{{C}_{1}}$ mà $f\left( 0 \right)={f}'\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=1$
Do đó ${f}'\left( x \right).f\left( x \right)=1009{{x}^{2}}+1\Leftrightarrow \mathop{\int }^{}f\left( x \right).{f}'\left( x \right)dx=\mathop{\int }^{}\left( 1009{{x}^{2}}+1 \right)dx$
$\Leftrightarrow \mathop{\int }^{}f\left( x \right)d\left[ f\left( x \right) \right]=\dfrac{1009}{3}{{x}^{3}}+x+{{C}_{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2}=\dfrac{1009}{3}{{x}^{3}}+x+{{C}_{2}}$
Mặt khác $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow {{C}_{2}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)=\dfrac{2018}{3}{{x}^{3}}+2x+1$
Vậy thể tích cần tính là $V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\mathop \int }} {{f}^{2}}\left( x \right)dx=\pi \underset{0}{\overset{2}{\mathop \int }} \left( \dfrac{2018}{3}{{x}^{3}}+2x+1 \right)dx=\dfrac{8090\pi }{3}.$
Đáp án C.