Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn ${{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}+f\left( x \right).f''\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=0.$ Giá trị của ${{f}^{2}}\left( 1 \right)$ bằng
A. $\dfrac{5}{2}.$
B. $\dfrac{9}{2}.$
C. $\dfrac{16}{15}.$
D. $\dfrac{8}{15}.$
A. $\dfrac{5}{2}.$
B. $\dfrac{9}{2}.$
C. $\dfrac{16}{15}.$
D. $\dfrac{8}{15}.$
Ta có: $\left[ {f}'{{\left( x \right)}^{2}} \right]+f\left( x \right).{{f}'}'\left( x \right)={{\left[ f\left( x \right).{f}'\left( x \right) \right]}^{\prime }}.$ Từ giả thiết ta có: ${{\left[ f\left( x \right).{f}'\left( x \right) \right]}^{\prime }}=4{{x}^{3}}+2x.$
Suy ra: $f\left( x \right).{f}'\left( x \right)=\int{\left( 4{{x}^{3}}+2x \right)dx}={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+C.$ Với $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0.$
Nên ta có: $f\left( x \right).{f}'\left( x \right)={{x}^{4}}+{{x}^{2}}$
Suy ra: $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).{f}'\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}} \right)dx}\Leftrightarrow \left. \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2} \right|_{0}^{1}=\dfrac{8}{15}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 1 \right)=\dfrac{16}{15}.$
Suy ra: $f\left( x \right).{f}'\left( x \right)=\int{\left( 4{{x}^{3}}+2x \right)dx}={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+C.$ Với $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0.$
Nên ta có: $f\left( x \right).{f}'\left( x \right)={{x}^{4}}+{{x}^{2}}$
Suy ra: $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).{f}'\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}} \right)dx}\Leftrightarrow \left. \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2} \right|_{0}^{1}=\dfrac{8}{15}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 1 \right)=\dfrac{16}{15}.$
Note 44: Phương pháp chung
Xu hướng chung là sẽ biến đổi đẳng thức đã cho đưa về đạo hàm đúng ${{\left( f\left( x \right){f}'\left( x \right) \right)}^{\prime }}$ để dùng phương pháp nguyên hàm tìm ra hàm số $y=f\left( x \right)$.Đáp án C.