Cho hàm số $f (x)$ thỏa mãn ${{\left[ f'\left( x...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

thỏa mãn

{[f^{'} (x)]}^{2} + f (x) . f^{″} (x) = 40 x^{3} + 16 x, \forall x \in R

và

f (0) = f^{'} (0) = 1

. Giá trị của

f^{2} (3)

bẳng:
A. 559.
B. 562.
C. 1117.
D. 1123.

Ta có:

{(f^{'} (x))}^{2} + f (x) . f^{″} (x) = 40 x^{3} + 16 x

.

\Rightarrow {[f^{'} (x) . f (x)]}^{'} = 40 x^{3} + 16 x \Rightarrow f^{'} (x) . f (x) = \int (40 x^{3} + 16 x) d x = 10 x^{4} + 8 x^{2} + C_{1}

.
Bài ra

f (0) = f^{'} (0) = 1 \Rightarrow C_{1} = 1 \Rightarrow f^{'} (x) . f (x) = 10 x^{4} + 8 x^{2} + 1

.

\begin{aligned} \Rightarrow \int f^{'} (x) . f (x) d x = \int (10 x^{4} + 8 x^{2} + 1) d x = \int f (x) d [f (x)] = 2 x^{5} + \frac{8 x^{3}}{3} + x + C_{2} \\ \Rightarrow \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} = 2 x^{5} + \frac{8 x^{3}}{3} + x + C_{2} \Rightarrow {[f (x)]}^{2} = 4 x^{5} + \frac{16 x^{3}}{3} + 2 x + 2 C_{2} \end{aligned}

Bài ra

f (0) = 1 \Rightarrow C_{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow {[f (x)]}^{2} = 4 x^{5} + \frac{16 x^{3}}{3} + 2 x + 1 \Rightarrow f^{2} (3) = 1123

.

Đáp án D.

Cho hàm số f(x) thỏa mãn ${{\left[ f'\left( x...