Cho hàm số $f (x)$ thỏa mãn ${{\left[ {f}'\left( x...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

thỏa mãn

{[f^{'} (x)]}^{2} + f (x) . f^{″} (x) = 4 x^{3} + 2 x

với mọi

x \in R

và

f (0) = 0

. Giá trị của

f^{2} (1)

bằng
A.

\frac{5}{2}

.
B.

\frac{9}{2}

.
C.

\frac{16}{15}

.
D.

\frac{8}{15}

.

Ta có:

{[f^{'} (x)]}^{2} + f (x) . f^{″} (x) = {[f (x) . f^{'} (x)]}^{'}

.
Từ giả thiết ta có:

{[f (x) . f^{'} (x)]}^{'} = 4 x^{3} + 2 x

.
Suy ra:

f (x) . f^{'} (x) = \int_{}^{} (4 x^{3} + 2 x) d x = x^{4} + x^{2} + C

. Với

f (0) = 0 \Rightarrow C = 0

Nên ta có:

f (x) . f^{'} (x) = x^{4} + x^{2}

Suy ra:

\int_{0}^{1} f (x) . f^{'} (x) d x = \int_{0}^{1} (x^{4} + x^{2}) d x \Leftrightarrow \frac{f^{2} (x)}{2} | \begin{aligned} 1 \\ 0 \end{aligned} = \frac{8}{15} \Rightarrow f^{2} (1) = \frac{16}{15}

.

Đáp án C.

Cho hàm số f(x) thỏa mãn ${{\left[ {f}'\left( x...