Cho hàm số $f (x)$ thỏa mãn ${f}'\left( x...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

thỏa mãn

f^{'} (x) . {[f (x)]}^{2018} = x . e^{x}

với mọi

x \in R

và

f (1) = 1

. Hỏi phương trình

f (x) = - \frac{1}{e}

có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 2.

Ta có:

\int f^{'} (x) {[f (x)]}^{2018} d x = \int x e^{x} d x \Leftrightarrow \int {[f (x)]}^{2018} d f (x) = (x - 1) . e^{x} + C

\Leftrightarrow \frac{1}{2019} . {[f (x)]}^{2019} = (x - 1) . e^{x} + C \Leftrightarrow {[f (x)]}^{2019} = 2019 (x - 1) . e^{x} + 2019 C

Do

f (1) = 1

nên

2019 C = 1

hay

{[f (x)]}^{2019} = 2019 (x - 1) . e^{x} + 1

.
Ta có:

f (x) = - \frac{1}{e} \Leftrightarrow {[f (x)]}^{2019} = - \frac{1}{e^{2019}} \Leftrightarrow 2019 (x - 1) . e^{x} + 1 + \frac{1}{e^{2019}} = 0

.
Xét hàm số

g (x) = 2019 (x - 1) . e^{x} + 1 + \frac{1}{e^{2019}}

trên

R

.
Ta có

{\begin{aligned} g^{'} (x) = 2019 x . e^{x}; g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0; g (0) = - 2019 + 1 + \frac{1}{e^{2019}} < 0 \\ lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty; lim_{x \to - \infty} g (x) = 1 + \frac{1}{e^{2019}} > 0 \end{aligned}

.
Bảng biến thiên của hàm số:

Do đó phương trình

f (x) = - \frac{1}{e}

có đúng 2 nghiệm.

Đáp án A.

Cho hàm số f(x) thỏa mãn ${f}'\left( x...