Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn ${f}'\left( x \right).{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2018}}=x.{{e}^{x}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 1 \right)=1$. Hỏi phương trình $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{e}$ có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
Ta có: $\int{{f}'\left( x \right){{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2018}}dx}=\int{x{{e}^{x}}dx}\Leftrightarrow \int{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2018}}df\left( x \right)}=\left( x-1 \right).{{e}^{x}}+C$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2019}.{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}=\left( x-1 \right).{{e}^{x}}+C\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}=2019\left( x-1 \right).{{e}^{x}}+2019C$
Do $f\left( 1 \right)=1$ nên $2019C=1$ hay ${{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}=2019\left( x-1 \right).{{e}^{x}}+1$.
Ta có: $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{e}\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}=-\dfrac{1}{{{e}^{2019}}}\Leftrightarrow 2019\left( x-1 \right).{{e}^{x}}+1+\dfrac{1}{{{e}^{2019}}}=0$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=2019\left( x-1 \right).{{e}^{x}}+1+\dfrac{1}{{{e}^{2019}}}$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)=2019x.{{e}^{x}};{g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0;g\left( 0 \right)=-2019+1+\dfrac{1}{{{e}^{2019}}}<0 \\
& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=1+\dfrac{1}{{{e}^{2019}}}>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên của hàm số:
Do đó phương trình $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{e}$ có đúng 2 nghiệm.
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2019}.{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}=\left( x-1 \right).{{e}^{x}}+C\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}=2019\left( x-1 \right).{{e}^{x}}+2019C$
Do $f\left( 1 \right)=1$ nên $2019C=1$ hay ${{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}=2019\left( x-1 \right).{{e}^{x}}+1$.
Ta có: $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{e}\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}=-\dfrac{1}{{{e}^{2019}}}\Leftrightarrow 2019\left( x-1 \right).{{e}^{x}}+1+\dfrac{1}{{{e}^{2019}}}=0$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=2019\left( x-1 \right).{{e}^{x}}+1+\dfrac{1}{{{e}^{2019}}}$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)=2019x.{{e}^{x}};{g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0;g\left( 0 \right)=-2019+1+\dfrac{1}{{{e}^{2019}}}<0 \\
& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=1+\dfrac{1}{{{e}^{2019}}}>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên của hàm số:
Do đó phương trình $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{e}$ có đúng 2 nghiệm.
Đáp án A.