Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f(1)=4\text{ v...

Phương pháp:
- Sử dụng: $\int{\dfrac{f'(x)}{{{f}^{2}}(x)}}=-\dfrac{1}{f(x)}$, chuyển vế, tính nguyên hàm để tìm $f\left( x \right).$
Cách giải:
Đặt
$t={{x}^{2}}+3\Rightarrow dt=2xdx\Rightarrow \int{\dfrac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{2}}}}dx=\int{\dfrac{dt}{{{t}^{2}}}}=-\dfrac{1}{t}=\dfrac{-1}{{{x}^{2}}+3}$
Do đó, ta có:
$\begin{aligned}
& {{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{2}}.f'(x)=2x.{{f}^{2}}(x) \\
& \Leftrightarrow \dfrac{f'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=\dfrac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{2}}} \\
& \Leftrightarrow \int{\dfrac{f'(x)}{{{f}^{2}}(x)}}=\int{\dfrac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{2}}}} \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{-1}{f(x)}=\dfrac{-1}{{{x}^{2}}+3}+C \\
& \Leftrightarrow f(x)={{x}^{2}}+3+C \\
& \begin{array}{*{35}{l}}
f(1)=4\Leftrightarrow 4={{1}^{2}}+3+C\Rightarrow C=0 \\
\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}+3 \\
\end{array} \\
\end{aligned}$
Vậy $f\left( 3 \right)={{3}^{2}}+3=12.$