Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $2xf\left( x \right)+{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)=1,$ với mọi $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ và $f\left( 1 \right)=0$. Giá trị của $f\left( \dfrac{1}{2} \right)$ bằng
A. $-2$.
B. $1$.
C. $6$.
D. $-1$.
A. $-2$.
B. $1$.
C. $6$.
D. $-1$.
Ta có $2xf\left( x \right)+{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)=1\Leftrightarrow {{\left[ {{x}^{2}}.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=1$
$\Rightarrow {{x}^{2}}.f\left( x \right)=x+C$
Vì $f\left( 1 \right)=0\Rightarrow C=-1$. Suy ra ${{x}^{2}}.f\left( x \right)=x-1\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{x-1}{{{x}^{2}}}$.
Vậy $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=-2$.
$\Rightarrow {{x}^{2}}.f\left( x \right)=x+C$
Vì $f\left( 1 \right)=0\Rightarrow C=-1$. Suy ra ${{x}^{2}}.f\left( x \right)=x-1\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{x-1}{{{x}^{2}}}$.
Vậy $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=-2$.
Đáp án A.