Cho hàm số $f (x)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

nhận giá trị dương và có đạo hàm

f^{'} (x)

liên tục trên

[0; 1]

thỏa mãn

f (1) = e . f (0)

và

\int_{0}^{1} \frac{d x}{f^{2} (x)} + \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x \leq 2

. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

f (1) = \sqrt{\frac{2 e}{e - 1}}

.
B.

f (1) = \frac{2 (e - 2)}{e - 1}

.
C.

f (1) = \sqrt{\frac{2 e^{2}}{e^{2} - 1}}

.
D.

f (1) = \sqrt{\frac{2 (e - 2)}{e - 1}}

.

Ta có

\int_{0}^{1} \frac{d x}{f^{2} (x)} + \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} [\frac{1}{f^{2} (x)} + {[f^{'} (x)]}^{2}] d x \overset{A M - G M}{\geq} 2 \int_{0}^{1} \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x

.

= 2 \ln | f (x) | | \begin{aligned} 1 \\ 0 \end{aligned} = 2 \ln | f (1) | - 2 \ln | f (0) | = 2 \ln | \frac{f (1)}{f (0)} | = 2 \ln e = 2

.
Mà

\int_{0}^{1} \frac{d x}{f^{2} (x)} + \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x \leq 2

nên dấu "=" xảy ra, tức là

f^{'} (x) = \frac{1}{f (x)} \Leftrightarrow f (x) . f^{'} (x) = 1

.

\Rightarrow \int_{}^{} f (x) . f^{'} (x) d x = \int_{}^{} x d x \Rightarrow \frac{f^{2} (x)}{2} = x + C \Rightarrow f (x) = \sqrt{2 x + 2 C}

Theo giả thiết

f (1) = e . f (0)

nên ta có

\sqrt{2 + 2 C} = e \sqrt{2 C} \Leftrightarrow 2 + 2 C = e^{2} .2 C \Leftrightarrow C = \frac{1}{e^{2} - 1}

\Rightarrow f (x) = \sqrt{2 x + \frac{2}{e^{2} - 1}} \Rightarrow f (1) = \sqrt{2 + \frac{2}{e^{2} - 1}} = \sqrt{\frac{2 e^{2}}{e^{2} - 1}}

.

Đáp án C.

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm...