Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ nhận giá trị dương trên $\left[ 0;1 \right]$, có đạo hàm dương liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$, thỏa mãn $\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{\dfrac{x.{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}dx}\ge 1$ và $f\left( 0 \right)=1;f\left( 1 \right)={{e}^{2}}$. Tính giá trị của $f\left( \dfrac{1}{2} \right)$.
A. $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=1$
B. $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=4$
C. $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\sqrt{e}$
D. $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=e$
A. $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=1$
B. $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=4$
C. $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\sqrt{e}$
D. $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=e$
Hàm dưới dấu tích phân là $\sqrt{\dfrac{x.{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}=\sqrt{x}.\sqrt{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}},\forall x\in \left[ 0;1 \right]$
Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng $\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}$, muốn vậy ta phải đánh giá theo $AM-GM$ như sau: $\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}+mx\ge 2\sqrt{m}.\sqrt{\dfrac{x.{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}$ với $m\ge 0$ và $x\in \left[ 0;1 \right]$
Do đó ta cần tìm tham số $m\ge 0$ sao cho $\int\limits_{0}^{1}{\left| \dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}+mx \right|dx}\ge 2\sqrt{m}.\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{\dfrac{x.{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}dx}$
Hay $\ln \left| f\left( x \right) \right|\left| \begin{aligned}
& ^{1} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.+\dfrac{m{{x}^{2}}}{2}\left| \begin{aligned}
& ^{1} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.\ge 2\sqrt{m}.1\Leftrightarrow \ln \left| f\left( 1 \right) \right|-\ln \left| f\left( 0 \right) \right|+\dfrac{m}{2}\ge 2\sqrt{m}\Leftrightarrow 2-0+\dfrac{m}{2}\ge 2\sqrt{m}$
Để dấu "=" xảy ra thì ta cần có $2-0+\dfrac{m}{2}=2\sqrt{m}\Leftrightarrow m=4$
Với $m=4$ thì đẳng thức xảy ra nên $\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=4x$
$\Rightarrow \int{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx}=\int{4xdx}\Leftrightarrow \ln \left| f\left( x \right) \right|=2{{x}^{2}}+C\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{2{{x}^{2}}+C}}$
Theo giả thiết $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)=1 \\
& f\left( 1 \right)={{e}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{2{{x}^{2}}}}\Rightarrow f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\sqrt{e}$
Cách 2: Theo Holder
${{1}^{2}}\le {{\left( \int\limits_{0}^{1}{\sqrt{\dfrac{x.{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}dx} \right)}^{2}}={{\left( \int\limits_{0}^{1}{\sqrt{x}.\sqrt{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}dx} \right)}^{2}}\le \int\limits_{0}^{1}{xdx}.\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}dx}=\dfrac{1}{2}.\ln \dfrac{f\left( 1 \right)}{f\left( 0 \right)}=1$
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có $\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=kx$, thay vào $\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{\dfrac{x.{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}dx}=1$ ta được $k=4$
Suy ra $\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=4x$ (làm tiếp như trên).
Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng $\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}$, muốn vậy ta phải đánh giá theo $AM-GM$ như sau: $\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}+mx\ge 2\sqrt{m}.\sqrt{\dfrac{x.{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}$ với $m\ge 0$ và $x\in \left[ 0;1 \right]$
Do đó ta cần tìm tham số $m\ge 0$ sao cho $\int\limits_{0}^{1}{\left| \dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}+mx \right|dx}\ge 2\sqrt{m}.\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{\dfrac{x.{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}dx}$
Hay $\ln \left| f\left( x \right) \right|\left| \begin{aligned}
& ^{1} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.+\dfrac{m{{x}^{2}}}{2}\left| \begin{aligned}
& ^{1} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.\ge 2\sqrt{m}.1\Leftrightarrow \ln \left| f\left( 1 \right) \right|-\ln \left| f\left( 0 \right) \right|+\dfrac{m}{2}\ge 2\sqrt{m}\Leftrightarrow 2-0+\dfrac{m}{2}\ge 2\sqrt{m}$
Để dấu "=" xảy ra thì ta cần có $2-0+\dfrac{m}{2}=2\sqrt{m}\Leftrightarrow m=4$
Với $m=4$ thì đẳng thức xảy ra nên $\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=4x$
$\Rightarrow \int{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx}=\int{4xdx}\Leftrightarrow \ln \left| f\left( x \right) \right|=2{{x}^{2}}+C\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{2{{x}^{2}}+C}}$
Theo giả thiết $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)=1 \\
& f\left( 1 \right)={{e}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{2{{x}^{2}}}}\Rightarrow f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\sqrt{e}$
Cách 2: Theo Holder
${{1}^{2}}\le {{\left( \int\limits_{0}^{1}{\sqrt{\dfrac{x.{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}dx} \right)}^{2}}={{\left( \int\limits_{0}^{1}{\sqrt{x}.\sqrt{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}dx} \right)}^{2}}\le \int\limits_{0}^{1}{xdx}.\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}dx}=\dfrac{1}{2}.\ln \dfrac{f\left( 1 \right)}{f\left( 0 \right)}=1$
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có $\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=kx$, thay vào $\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{\dfrac{x.{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}dx}=1$ ta được $k=4$
Suy ra $\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=4x$ (làm tiếp như trên).
Đáp án C.