Cho hàm số $f\left(x\right)$ nhận giá trị dương trên $\left[ 0;1...

Hàm dưới dấu tích phân là $\sqrt{{\displaystyle \frac{x.f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}}=\sqrt{x}.\sqrt{{\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}},\mathrm{\forall }x\in [0;1]$
Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng ${\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}$, muốn vậy ta phải đánh giá theo $AM-GM$ như sau: ${\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}+mx\ge 2\sqrt{m}.\sqrt{{\displaystyle \frac{x.f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}}$ với $m\ge 0$ và $x\in [0;1]$
Do đó ta cần tìm tham số $m\ge 0$ sao cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}|{\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}+mx|dx\ge 2\sqrt{m}.\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{{\displaystyle \frac{x.f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}}dx$
Hay $\ln \left|f\left(x\right)\right||\begin{array}{rl}& {}^1\\ & {}_0\end{array}+{\displaystyle \frac{m{x}^2}{2}}|\begin{array}{rl}& {}^1\\ & {}_0\end{array}\ge 2\sqrt{m}.1\iff \ln \left|f\left(1\right)\right|-\ln \left|f\left(0\right)\right|+{\displaystyle \frac{m}{2}}\ge 2\sqrt{m}\iff 2-0+{\displaystyle \frac{m}{2}}\ge 2\sqrt{m}$
Để dấu "=" xảy ra thì ta cần có $2-0+{\displaystyle \frac{m}{2}}=2\sqrt{m}\iff m=4$
Với $m=4$ thì đẳng thức xảy ra nên ${\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}=4x$
$\Rightarrow \int {\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}dx=\int 4xdx\iff \ln \left|f\left(x\right)\right|=2x^2+C\Rightarrow f\left(x\right)=e^{2x^2+C}$
Theo giả thiết $\{\begin{array}{rl}& f\left(0\right)=1\\ & f\left(1\right)=e^2\end{array}\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left(x\right)=e^{2x^2}\Rightarrow f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=\sqrt{e}$
Cách 2: Theo Holder
$1^2\le {\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{{\displaystyle \frac{x.f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}}dx\right)}^2={\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{x}.\sqrt{{\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}}dx\right)}^2\le \underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx.\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{{\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}.\ln {\displaystyle \frac{f\left(1\right)}{f\left(0\right)}}=1$
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có ${\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}=kx$, thay vào $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{{\displaystyle \frac{x.f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}}dx=1$ ta được $k=4$
Suy ra ${\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}}=4x$ (làm tiếp như trên).