Cho hàm số $f (x)$ nhận giá trị dương trên $[0; 1]$ , có...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

nhận giá trị dương trên

[0; 1]

, có đạo hàm dương và liên tục trên

[0; 1]

, thỏa mãn

f (0) = 1

và

\int_{0}^{1} [f^{3} (x) + 4 {[f^{'} (x)]}^{3}] d x \leq 3 \int_{0}^{1} f^{'} (x) . f^{2} (x) d x .

Tính

I = \int_{0}^{1} f (x) d x .

A.

I = 2 (\sqrt{e} - 1) .

B.

I = 2 (e^{2} - 1) .

C.

I = \frac{\sqrt{e} - 1}{2} .

D.

I = \frac{e^{2} - 1}{2} .

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có

\begin{aligned} f^{3} (x) + 4 {[f^{'} (x)]}^{3} = 4 {[f^{'} (x)]}^{3} + \frac{f^{3} (x)}{2} + \frac{f^{3} (x)}{2} \geq 3 \sqrt[3]{4 {[f^{'} (x)]}^{3} . \frac{f^{3} (x)}{2} . \frac{f^{3} (x)}{2}} \\ = 3 f^{'} (x) . f^{2} (x) \end{aligned}

Suy ra

\int_{0}^{1} [f^{3} (x) + 4 {[f^{'} (x)]}^{3}] d x \geq 3 \int_{0}^{1} f^{'} (x) . f^{2} (x) d x

.
Mà

\int_{0}^{1} {f^{3} (x) + 4 {[f^{'} (x)]}^{3}} d x \leq 3 \int_{0}^{1} f^{'} (x) . f^{2} (x) d x

nên dấu "=" xảy ra, tức là

\begin{aligned} 4 {[f^{'} (x)]}^{3} = \frac{f^{3} (x)}{2} = \frac{f^{3} (x)}{2} \Leftrightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{2} f (x) \\ \frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{1}{2} \Rightarrow \int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \frac{1}{2} \int d x \Rightarrow \ln | f (x) | = \frac{1}{2} x + C \Rightarrow f (x) = e^{\frac{1}{2} x + C} \end{aligned}

Theo giả thiết

f (0) = 1 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = e^{\frac{1}{2} x} \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = 2 (\sqrt{e} - 1)

Đáp án A.

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên [0;1], có...