Cho hàm số $f (x)$ nhận giá trị dương, có đạo hàm liên...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên

[0; 2]

. Biết

f (0) = 1

và

f (x) . f (2 - x) = e^{2 x^{2} - 4 x}

với mọi

x \in [0; 2] .

Tính tích phân

I = \int_{0}^{2} \frac{(x^{3} - 3 x^{2}) . f^{'} (x)}{f (x)} d x .

A.

I = - \frac{14}{3} .

B.

I = - \frac{32}{5} .

C.

I = - \frac{16}{3} .

D.

I = - \frac{16}{5} .

Từ giả thiết

f (x) . f (2 - x) = e^{2 x^{2} - 4 x} \overset{x = 2}{\to} f (2) = 1.

Ta có

I = \int_{0}^{2} \frac{(x^{3} - 3 x^{2}) . f^{'} (x)}{f (x)} d x .

Đặt

{\begin{aligned} u = x^{3} - 3 x^{2} \\ d v = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} d u = (3 x^{2} - 6 x) d x \\ v = \ln | f (x) | \end{aligned}

Khi đó

I = (x^{3} - 3 x^{2}) \ln | f (x) | |_{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} 2 \end{matrix}} - \int_{0}^{2} (3 x^{2} - 6 x) \ln | f (x) | d x \overset{f (2) = 1}{=} - 3 \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln | f (x) | d x = - 3 J

Ta có

J = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln | f (x) | d x \overset{x = 2 - t}{=} \int_{2}^{0} [{(2 - t)}^{2} - 2 (2 - t)] \ln | f (2 - t) | d (2 - t)

= \int_{2}^{0} [{(2 - x)}^{2} - 2 (2 - x)] \ln | f (2 - x) | d (2 - x) = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln | f (2 - x) | d x

Suy ra

2 J = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln | f (x) | d x + \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln | f (2 - x) | d x

= \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln | f (x) . f (2 - x) | d x

= \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln e^{2 x^{2} - 4 x} d x = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) (2 x^{2} - 4 x) d x = \frac{32}{15}

\Rightarrow J = \frac{16}{15}

Vậy

I = - 3 J = - \frac{16}{5} .

Đáp án D.

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên...