Cho hàm số $f\left( x \right)$ nhận giá trị dương, có đạo hàm liên...

Vì hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên và nên thay , ta có: mà .
Đặt:
$\left\{ \begin{aligned}
& u={{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \\
& \mathrm{d}v=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}\mathrm{d}x \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \mathrm{d}u=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\mathrm{d}x \\
& v=\ln \left| f\left( x \right) \right| \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \mathrm{d}u=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\mathrm{d}x \\
& v=\ln f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra:
Đặt .
Khi và .
Khi đó, .
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên
Từ và , ta cộng vế theo vế, ta được: .
Hay