Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên $\left[ 0;2 \right]$. Biết $f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( x \right)f\left( 2-x \right)={{e}^{2{{x}^{2}}-4x}}$ với mọi $x\in \left[ 0;2 \right]$. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right){f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx}$
A. $I=-\dfrac{14}{3}$.
B. $I=-\dfrac{32}{5}$.
C. $I=-\dfrac{16}{5}$.
D. $I=-\dfrac{16}{3}$.
A. $I=-\dfrac{14}{3}$.
B. $I=-\dfrac{32}{5}$.
C. $I=-\dfrac{16}{5}$.
D. $I=-\dfrac{16}{3}$.
Vì hàm số $f\left( x \right)$ nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên $\left[ 0;2 \right]$ và $f\left( x \right)f\left( 2-x \right)={{e}^{2{{x}^{2}}-4x}}$ nên thay $x=0$, ta có: $f\left( 0 \right).f\left( 2 \right)=1$ mà $f\left( 0 \right)=1$ $\Rightarrow f\left( 2 \right)=1$.
Đặt:
$\left\{ \begin{aligned}
& u={{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \\
& \mathrm{d}v=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}\mathrm{d}x \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \mathrm{d}u=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\mathrm{d}x \\
& v=\ln \left| f\left( x \right) \right| \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \mathrm{d}u=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\mathrm{d}x \\
& v=\ln f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra: $I=\left. \left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)\ln f\left( x \right) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\ln f\left( x \right)\mathrm{d}x}$ $=-\int\limits_{0}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\ln f\left( x \right)\mathrm{d}x}$ $\left( 1 \right)$
Đặt $x=2-t$ $\Rightarrow \mathrm{d}x=-\mathrm{d}t$.
Khi $x=0\to t=2$ và $x=2\to t=0$.
Khi đó, $J=-\int\limits_{2}^{0}{\left( 3{{t}^{2}}-6t \right)\ln f\left( 2-t \right)(-\mathrm{d}t)}$ $=-\int\limits_{0}^{2}{\left( 3{{t}^{2}}-6t \right)\ln f\left( 2-t \right)\mathrm{d}t}$.
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên $I=-\int\limits_{0}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\ln f\left( 2-x \right)\mathrm{d}x}$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta cộng vế theo vế, ta được: $2I=-\int\limits_{0}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\left[ \ln f\left( x \right)+\ln f\left( 2-x \right) \right]\mathrm{d}x}$.
Hay $I=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\left( 2{{x}^{2}}-4x \right)\mathrm{d}x}=-\dfrac{16}{5}$
Đặt:
$\left\{ \begin{aligned}
& u={{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \\
& \mathrm{d}v=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}\mathrm{d}x \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \mathrm{d}u=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\mathrm{d}x \\
& v=\ln \left| f\left( x \right) \right| \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \mathrm{d}u=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\mathrm{d}x \\
& v=\ln f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra: $I=\left. \left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)\ln f\left( x \right) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\ln f\left( x \right)\mathrm{d}x}$ $=-\int\limits_{0}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\ln f\left( x \right)\mathrm{d}x}$ $\left( 1 \right)$
Đặt $x=2-t$ $\Rightarrow \mathrm{d}x=-\mathrm{d}t$.
Khi $x=0\to t=2$ và $x=2\to t=0$.
Khi đó, $J=-\int\limits_{2}^{0}{\left( 3{{t}^{2}}-6t \right)\ln f\left( 2-t \right)(-\mathrm{d}t)}$ $=-\int\limits_{0}^{2}{\left( 3{{t}^{2}}-6t \right)\ln f\left( 2-t \right)\mathrm{d}t}$.
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên $I=-\int\limits_{0}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\ln f\left( 2-x \right)\mathrm{d}x}$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta cộng vế theo vế, ta được: $2I=-\int\limits_{0}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\left[ \ln f\left( x \right)+\ln f\left( 2-x \right) \right]\mathrm{d}x}$.
Hay $I=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\left( 2{{x}^{2}}-4x \right)\mathrm{d}x}=-\dfrac{16}{5}$
Đáp án C.