Cho hàm số $f\left( x \right)=m{{x}^{4}}+n{{x}^{3}}+p{{x}^{2}}+qx...

Do ${f}'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt nên $m\ne 0$ và $m>0$
Ta có ${f}'\left( x \right)=4m{{x}^{3}}+3n{{x}^{2}}+2px+q$
Mặt khác dựa vào đồ thị $y={f}'\left( x \right)$
Suy ra ${f}'\left( x \right)=4m\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\left( x-1 \right)=4m\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-x-3 \right)$
Đồng nhất hệ số ta có: $n=4m, p=-2m, q=-12m$
${f}'\left( x \right)=f\left( x \right)+9m$
$\Leftrightarrow 4m{{x}^{3}}+3n{{x}^{2}}+2px+q=m{{x}^{4}}+n{{x}^{3}}+p{{x}^{2}}+qx+9m$
$\Leftrightarrow 4m{{x}^{3}}+12m{{x}^{2}}-4mx-12m=m{{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}-12mx+9m$
$\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-4x-12={{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-12x+9\Leftrightarrow {{x}^{4}}-14{{x}^{2}}-8x+21=0$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-5 \right)}^{2}}=4{{\left( x+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2x-7=0 \\
& {{x}^{2}}+2x-3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-7 \\
& {{x}_{3}}.{{x}_{4}}=-3 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy tích các nghiệm của phương trình là 21.