Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${f\left( x \right) = m{\rm{x}} + 2019\sqrt {{x^2} + 1} }$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có cực trị?.
A. ${4037}$.
B. ${2019}$.
C. ${2020}$.
D. ${1009}$.
A. ${4037}$.
B. ${2019}$.
C. ${2020}$.
D. ${1009}$.
+ Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
+ Đạo hàm: $f'\left( x \right)=\left( mx+2019\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)'=m+\dfrac{2019x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$
+ Hàm số có cực trị nếu như phương trình $f'\left( x \right)=0$ có nghiệm và $f'\left( x \right)$ đổi dấu khi $x$ đi qua các nghiệm.
+ Xét phương trình: $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow g\left( x \right)=\dfrac{2019x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=-m$
Ta có: $g'\left( x \right)={{\left( \dfrac{2019x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)}^{1}}=x>0,\forall x\in \mathbb{R}$
$+\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=-2019;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=2019$ suy ra $-2019<g\left( x \right)<2019$
Vậy $-2019<-m<2019$
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2018;....;2018 \right\}$. Vậy có 4037 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.
+ Đạo hàm: $f'\left( x \right)=\left( mx+2019\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)'=m+\dfrac{2019x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$
+ Hàm số có cực trị nếu như phương trình $f'\left( x \right)=0$ có nghiệm và $f'\left( x \right)$ đổi dấu khi $x$ đi qua các nghiệm.
+ Xét phương trình: $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow g\left( x \right)=\dfrac{2019x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=-m$
Ta có: $g'\left( x \right)={{\left( \dfrac{2019x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)}^{1}}=x>0,\forall x\in \mathbb{R}$
$+\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=-2019;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=2019$ suy ra $-2019<g\left( x \right)<2019$
Vậy $-2019<-m<2019$
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2018;....;2018 \right\}$. Vậy có 4037 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.
Đáp án A.