Cho hàm số $f\left( x \right)={{\log...

Xét hàm số $f(x)=\log _{2} \sqrt{x+\sqrt{x^{2}+4}}=\dfrac{1}{2} \log _{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+4}\right)$. TXĐ: $\mathbb{R}$
Ta có $f^{\prime}(x)=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}}{2\left(x+\sqrt{x^{2}+4}\right) \ln 2}=\dfrac{1}{2 \sqrt{x^{2}+4} \ln 2}>0, \forall x \in \mathbb{R}$ nên $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác $f(-x)=\dfrac{1}{2} \log _{2}\left(-x+\sqrt{(-x)^{2}+4}\right)=\dfrac{1}{2} \log _{2}\left(\sqrt{x^{2}+4}-x\right)$
$
=\dfrac{1}{2} \log _{2} \dfrac{4}{\sqrt{x^{2}+4}+x}=1-\dfrac{1}{2} \log _{2}\left(\sqrt{x^{2}+4}+x\right)=1-f(x) \forall x \in \mathbb{R} \text {. }
$
Do đó bất phương trình đã cho tương đương
$f\left((x+1)^{4}-4 x-5\right)+f\left(x^{2}+6 m-m^{2}-m^{4}\right) \geq 1$
$\Leftrightarrow f\left((x+1)^{4}-4 x-5\right) \geq 1-f\left(x^{2}+6 m-m^{2}-m^{4}\right)$
$\Leftrightarrow f\left((x+1)^{4}-4 x-5\right) \geq f\left(-x^{2}-6 m+m^{2}+m^{4}\right)$
$\Leftrightarrow(x+1)^{4}-4 x-5 \geq-x^{2}-6 m+m^{2}+m^{4}$
$\Leftrightarrow(x+1)^{4}+(x+1)^{2}-6(x+1) \geq m^{4}+m^{2}-6 m$
Đặt $t=x+1 ; t \in \mathbb{R}$. Bất phương trình trở thành $t^{4}+t^{2}-6 t \geq m^{4}+m^{2}-6 m$.
Xét hàm số $g(t)=t^{4}+t^{2}-6 t ; t \in \mathbb{R}$. Ta có $g^{\prime}(t)=4 t^{3}+2 t-6 ; g^{\prime}(t)=0$
$\Leftrightarrow 4 t^{3}+2 t-6=0 \Leftrightarrow t=1$
Bảng biến thiên
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m^{4}+m^{2}-6 m \leq-4$
$\Leftrightarrow g(m) \leq-4 \Leftrightarrow g(m)=-4 \Leftrightarrow m=1$.
Vậy có 1 giá trị thực của $m$ thỏa mãn.