Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \left( 3x-1 \right)-\dfrac{m}{x}+2020$. Số giá trị nguyên của $m\le 2020$ để hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ là
A. 2022.
B. 2019.
C. 2021.
D. 2020.
A. 2022.
B. 2019.
C. 2021.
D. 2020.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=\dfrac{3}{3x-1}+\dfrac{m}{{{x}^{2}}}$
Để hàm số $f\left( x \right)=\ln \left( 3x-1 \right)-\dfrac{m}{x}+2020$ đồng biến $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ thì ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{3x-1}+\dfrac{m}{{{x}^{2}}}\ge 0,\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)\Leftrightarrow -m\le \dfrac{3{{x}^{2}}}{3x-1}=g\left( x \right),\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{9{{x}^{2}}-6x}{{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}};{g}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}$.
Bảng biến thiên
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow -m\le \dfrac{4}{3}\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{4}{3}$.
Để hàm số $f\left( x \right)=\ln \left( 3x-1 \right)-\dfrac{m}{x}+2020$ đồng biến $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ thì ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{3x-1}+\dfrac{m}{{{x}^{2}}}\ge 0,\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)\Leftrightarrow -m\le \dfrac{3{{x}^{2}}}{3x-1}=g\left( x \right),\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{9{{x}^{2}}-6x}{{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}};{g}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}$.
Bảng biến thiên
Đáp án A.