Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'\left( x \right)={{e}^{-f\left( x \right)}}\left( 2x+3 \right);f\left( 0 \right)=\ln 2.$ Tính $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx?}$
A. $6\ln 2+2.$
B. $6\ln 2-2.$
C. $6\ln 2-3.$
D. $6\ln 2+3.$
A. $6\ln 2+2.$
B. $6\ln 2-2.$
C. $6\ln 2-3.$
D. $6\ln 2+3.$
$f'\left( x \right)={{e}^{-f\left( x \right)}}\left( 2x+3 \right)\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)}}.f'\left( x \right)=2x+3\Leftrightarrow \int{{{e}^{f\left( x \right)}}.f'\left( x \right)dx=\int{\left( 2x+3 \right)dx}}$
$\Leftrightarrow \int{{{e}^{f\left( x \right)}}d\left( f\left( x \right) \right)={{x}^{2}}+3x+C\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)}}={{x}^{2}}+3x+C}$ mà $f\left( 0 \right)=\ln 2\Rightarrow C=2.$
Do đó $f\left( x \right)=\ln \left| {{x}^{2}}+3x+2 \right|.$ Vậy $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\ln \left| {{x}^{2}}+3x+2 \right|dx=6\ln 2-2.}$
$\Leftrightarrow \int{{{e}^{f\left( x \right)}}d\left( f\left( x \right) \right)={{x}^{2}}+3x+C\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)}}={{x}^{2}}+3x+C}$ mà $f\left( 0 \right)=\ln 2\Rightarrow C=2.$
Do đó $f\left( x \right)=\ln \left| {{x}^{2}}+3x+2 \right|.$ Vậy $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\ln \left| {{x}^{2}}+3x+2 \right|dx=6\ln 2-2.}$
Đáp án B.