Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục và có đạo hàm trên...

Ta có $2f\left(x\right)>x^2+m\iff 2f\left(x\right)-x^2>m$, với mọi $x\in [-2;3]$.
Đặt $g\left(x\right)=2f\left(x\right)-x^2$ xét trên đoạn $x\in [-2;3]$.
$g^{\prime }\left(x\right)=2[f^{\prime }\left(x\right)-x]$.
Vẽ đường thẳng $y=x$ cùng với đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.
Ta có: $g^{\prime }\left(x\right)=0\iff f^{\prime }\left(x\right)=x\iff \{\begin{array}{rl}& x=-2\\ & x=1\\ & x=3\end{array}$
Bảng biến thiên:

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f^{\prime }\left(x\right),y=x,x=-2,x=1$.
Gọi $H$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f^{\prime }\left(x\right),y=x,x=1,x=3$.
Dựa vào đồ thị dễ thấy $S>H\iff S-H>0$.
Ta có: $\begin{array}{rl}& \underset{-2}{\overset{3}{\int }}{\displaystyle \frac{g^{\prime }\left(x\right)}{2}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}[\underset{-2}{\overset{1}{\int }}{g}^{\prime }\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}{g}^{\prime }\left(x\right)dx]={\displaystyle \frac{1}{2}}(S-H)>0\\ & \Rightarrow \underset{-2}{\overset{3}{\int }}{\displaystyle \frac{g^{\prime }\left(x\right)}{2}}dx>0\iff {\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{2}}|{}_{-2}^3>0\iff {\displaystyle \frac{g\left(3\right)-g\left(2\right)}{2}}>0\iff g\left(3\right)-g\left(2\right)>0\\ & \Rightarrow \underset{x\in [-2;3]}{min}g\left(x\right)=g(-2)\end{array}$
Để bất phương trình $g\left(x\right)=2f\left(x\right)-x^2>m$ đúng với mọi $x\in [-2;3]$ thì $\underset{x\in [-2;3]}{min}g\left(x\right)>m\Rightarrow g(-2)>m\iff m<2f(-2)-4$.