Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Có đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Biết phương trình $2f\left( x \right)>{{x}^{2}}+m$ đúng với mọi $x\in \left[ -2;3 \right]$ khi và chỉ khi:
A. $m>2f\left( 3 \right)-9$
B. $m<2f\left( -2 \right)-4$
C. $m>2f\left( 0 \right)$
D. $m<2f\left( 1 \right)-1$
Ta có $2f\left( x \right)>{{x}^{2}}+m\Leftrightarrow 2f\left( x \right)-{{x}^{2}}>m$, với mọi $x\in \left[ -2;3 \right]$.
Đặt $g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{x}^{2}}$ xét trên đoạn $x\in \left[ -2;3 \right]$.
$g'\left( x \right)=2\left[ f'\left( x \right)-x \right]$.
Vẽ đường thẳng $y=x$ cùng với đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.
Ta có: $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f'\left( x \right),\ y=x,\ x=-2,\ x=1$.
Gọi $H$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f'\left( x \right),\ y=x,\ x=1,\ x=3$.
Dựa vào đồ thị dễ thấy $S>H\Leftrightarrow S-H>0$.
Ta có: $\begin{aligned}
& \int\limits_{-2}^{3}{\dfrac{g'\left( x \right)}{2}dx}=\dfrac{1}{2}\left[ \int\limits_{-2}^{1}{g'\left( x \right)dx}+\int\limits_{1}^{3}{g'\left( x \right)dx} \right]=\dfrac{1}{2}\left( S-H \right)>0 \\
& \Rightarrow \int\limits_{-2}^{3}{\dfrac{g'\left( x \right)}{2}dx}>0\Leftrightarrow \dfrac{g\left( x \right)}{2}\left| _{-2}^{3}\ >0 \right.\Leftrightarrow \dfrac{g\left( 3 \right)-g\left( 2 \right)}{2}>0\Leftrightarrow g\left( 3 \right)-g\left( 2 \right)>0 \\
& \Rightarrow \underset{x\in \left[ -2;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -2 \right) \\
\end{aligned}$
Để bất phương trình $g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{x}^{2}}>m$ đúng với mọi $x\in \left[ -2;3 \right]$ thì $\underset{x\in \left[ -2;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)>m\Rightarrow g\left( -2 \right)>m\Leftrightarrow m<2f\left( -2 \right)-4$.
A. $m>2f\left( 3 \right)-9$
B. $m<2f\left( -2 \right)-4$
C. $m>2f\left( 0 \right)$
D. $m<2f\left( 1 \right)-1$
Ta có $2f\left( x \right)>{{x}^{2}}+m\Leftrightarrow 2f\left( x \right)-{{x}^{2}}>m$, với mọi $x\in \left[ -2;3 \right]$.
Đặt $g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{x}^{2}}$ xét trên đoạn $x\in \left[ -2;3 \right]$.
$g'\left( x \right)=2\left[ f'\left( x \right)-x \right]$.
Vẽ đường thẳng $y=x$ cùng với đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.
Ta có: $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f'\left( x \right),\ y=x,\ x=-2,\ x=1$.
Gọi $H$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f'\left( x \right),\ y=x,\ x=1,\ x=3$.
Dựa vào đồ thị dễ thấy $S>H\Leftrightarrow S-H>0$.
Ta có: $\begin{aligned}
& \int\limits_{-2}^{3}{\dfrac{g'\left( x \right)}{2}dx}=\dfrac{1}{2}\left[ \int\limits_{-2}^{1}{g'\left( x \right)dx}+\int\limits_{1}^{3}{g'\left( x \right)dx} \right]=\dfrac{1}{2}\left( S-H \right)>0 \\
& \Rightarrow \int\limits_{-2}^{3}{\dfrac{g'\left( x \right)}{2}dx}>0\Leftrightarrow \dfrac{g\left( x \right)}{2}\left| _{-2}^{3}\ >0 \right.\Leftrightarrow \dfrac{g\left( 3 \right)-g\left( 2 \right)}{2}>0\Leftrightarrow g\left( 3 \right)-g\left( 2 \right)>0 \\
& \Rightarrow \underset{x\in \left[ -2;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -2 \right) \\
\end{aligned}$
Để bất phương trình $g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{x}^{2}}>m$ đúng với mọi $x\in \left[ -2;3 \right]$ thì $\underset{x\in \left[ -2;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)>m\Rightarrow g\left( -2 \right)>m\Leftrightarrow m<2f\left( -2 \right)-4$.
Đáp án B.