Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$, thỏa mãn hệ thức $f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)\tan x=\dfrac{x}{{{\cos }^{3}}x}$. Biết rằng $\sqrt{3}f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=a\pi \sqrt{3}+b\ln 3$ trong đó $a, b \in \mathbb{Q}$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+b$.
A. $P=-\dfrac{4}{9}$.
B. $P=-\dfrac{2}{9}$.
C. $P=\dfrac{7}{9}$.
D. $P=\dfrac{14}{9}$.
A. $P=-\dfrac{4}{9}$.
B. $P=-\dfrac{2}{9}$.
C. $P=\dfrac{7}{9}$.
D. $P=\dfrac{14}{9}$.
Ta có:
$f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)\tan x=\dfrac{x}{{{\cos }^{3}}x}$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)\cos x+{f}'\left( x \right)\sin x=\dfrac{x}{{{\cos }^{2}}x}$ $\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right)\sin x \right]}^{\prime }}=\dfrac{x}{{{\cos }^{2}}x}$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)\sin x=\int{\dfrac{x}{{{\cos }^{2}}x}}\text{d}x$
Đặt: $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& \text{d}v=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \text{d}u=\text{d}x \\
& v=\tan x \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \int{\dfrac{x}{{{\cos }^{2}}x}}\text{d}x=x\tan x-\int{\tan x\text{d}x}=x\tan x+\ln (\cos x)+C$
Do đó: $f\left( x \right)\sin x=x\tan x+\ln (\cos x)+C$.
Với $x=\dfrac{\pi }{3}$, ta được $\dfrac{\sqrt{3}}{2}f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{\sqrt{3}\pi }{3}+\ln \dfrac{1}{2}+C$.
Với $x=\dfrac{\pi }{6}$, ta được $\dfrac{1}{2}f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{\sqrt{3}\pi }{18}+\ln \dfrac{\sqrt{3}}{2}+C$.
Vậy $\sqrt{3}f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{5\pi \sqrt{3}}{9}-\ln 3$ $\Rightarrow a=\dfrac{5}{9} ; b=-1$ $\Rightarrow a+b=-\dfrac{4}{9}$
$f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)\tan x=\dfrac{x}{{{\cos }^{3}}x}$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)\cos x+{f}'\left( x \right)\sin x=\dfrac{x}{{{\cos }^{2}}x}$ $\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right)\sin x \right]}^{\prime }}=\dfrac{x}{{{\cos }^{2}}x}$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)\sin x=\int{\dfrac{x}{{{\cos }^{2}}x}}\text{d}x$
Đặt: $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& \text{d}v=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \text{d}u=\text{d}x \\
& v=\tan x \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \int{\dfrac{x}{{{\cos }^{2}}x}}\text{d}x=x\tan x-\int{\tan x\text{d}x}=x\tan x+\ln (\cos x)+C$
Do đó: $f\left( x \right)\sin x=x\tan x+\ln (\cos x)+C$.
Với $x=\dfrac{\pi }{3}$, ta được $\dfrac{\sqrt{3}}{2}f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{\sqrt{3}\pi }{3}+\ln \dfrac{1}{2}+C$.
Với $x=\dfrac{\pi }{6}$, ta được $\dfrac{1}{2}f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{\sqrt{3}\pi }{18}+\ln \dfrac{\sqrt{3}}{2}+C$.
Vậy $\sqrt{3}f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{5\pi \sqrt{3}}{9}-\ln 3$ $\Rightarrow a=\dfrac{5}{9} ; b=-1$ $\Rightarrow a+b=-\dfrac{4}{9}$
Đáp án A.