Cho hàm số $f (x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left(...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

liên tục và có đạo hàm trên

(0; \frac{π}{2})

, thỏa mãn hệ thức

f (x) + \tan x . f^{'} (x) = \frac{x}{\cos^{3} x}

. Biết rằng

\sqrt{3} f (\frac{π}{3}) - f (\frac{π}{6}) = a π \sqrt{3} + b \ln 3

trong đó

a, b \in Q

. Tính giá trị của biểu thức

P = a + b

.
A.

P = - \frac{4}{9} .

B.

P = - \frac{2}{9} .

C.

P = \frac{7}{9} .

D.

P = - \frac{14}{9} .

Từ giả thiết, ta có:

\cos x . f (x) + \sin x . f^{'} (x) = \frac{x}{\cos^{2} x} \Leftrightarrow {[\sin x . f (x)]}^{'} = \frac{x}{\cos^{2} x}

.
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được:

\int {[\sin x . f (x)]}^{'} d x = \int \frac{x}{\cos^{2} x} d x \Rightarrow \sin x . f (x) = x . \tan x + \ln | \cos x | + C

.
+ Với

x = \frac{π}{3}

ta có:

\sin \frac{π}{3} . f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} . \tan \frac{π}{3} + \ln | \cos \frac{π}{3} | + C \Rightarrow \sqrt{3} . f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{3} π \sqrt{3} - 2 \ln 2 + 2 C

.
+ Với

x = \frac{π}{6}

, ta có:

\sin \frac{π}{6} . f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} . \tan \frac{π}{6} + \ln | \cos \frac{π}{6} | + C \Rightarrow f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{9} π \sqrt{3} + \ln 3 - 2 \ln 2 + 2 C

Do đó:

\sqrt{3} f (\frac{π}{3}) - f (\frac{π}{6}) = \frac{5}{9} π \sqrt{3} - \ln 3 \Rightarrow {\begin{aligned} a = \frac{5}{9} \\ b = - 1 \end{aligned} \Rightarrow P = a + b = - \frac{4}{9}

.

Đáp án A.

Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên $\left(...