Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$, thỏa mãn hệ thức $f\left( x \right)+\tan x.f'\left( x \right)=\dfrac{x}{{{\cos }^{3}}x}$. Biết rằng $\sqrt{3}f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=a\pi \sqrt{3}+b\ln 3$ trong đó $a,b\in \mathbb{Q}$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+b$.
A. $P=-\dfrac{4}{9}.$
B. $P=-\dfrac{2}{9}.$
C. $P=\dfrac{7}{9}.$
D. $P=-\dfrac{14}{9}.$
A. $P=-\dfrac{4}{9}.$
B. $P=-\dfrac{2}{9}.$
C. $P=\dfrac{7}{9}.$
D. $P=-\dfrac{14}{9}.$
Từ giả thiết, ta có: $\cos x.f\left( x \right)+\sin x.f'\left( x \right)=\dfrac{x}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow \left[ \sin x.f\left( x \right) \right]'=\dfrac{x}{{{\cos }^{2}}x}$.
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: $\int{\left[ \sin x.f\left( x \right) \right]'dx}=\int{\dfrac{x}{{{\cos }^{2}}x}dx\Rightarrow \sin x.f\left( x \right)=x.\tan x+\ln \left| \cos x \right|+C}$.
+ Với $x=\dfrac{\pi }{3}$ ta có: $\sin \dfrac{\pi }{3}.f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{\pi }{3}.\tan \dfrac{\pi }{3}+\ln \left| \cos \dfrac{\pi }{3} \right|+C\Rightarrow \sqrt{3}.f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{2}{3}\pi \sqrt{3}-2\ln 2+2C$.
+ Với $x=\dfrac{\pi }{6}$, ta có: $\sin \dfrac{\pi }{6}.f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{\pi }{6}.\tan \dfrac{\pi }{6}+\ln \left| \cos \dfrac{\pi }{6} \right|+C\Rightarrow f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{1}{9}\pi \sqrt{3}+\ln 3-2\ln 2+2C$
Do đó: $\sqrt{3}f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{5}{9}\pi \sqrt{3}-\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{5}{9} \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=a+b=-\dfrac{4}{9}$.
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: $\int{\left[ \sin x.f\left( x \right) \right]'dx}=\int{\dfrac{x}{{{\cos }^{2}}x}dx\Rightarrow \sin x.f\left( x \right)=x.\tan x+\ln \left| \cos x \right|+C}$.
+ Với $x=\dfrac{\pi }{3}$ ta có: $\sin \dfrac{\pi }{3}.f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{\pi }{3}.\tan \dfrac{\pi }{3}+\ln \left| \cos \dfrac{\pi }{3} \right|+C\Rightarrow \sqrt{3}.f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{2}{3}\pi \sqrt{3}-2\ln 2+2C$.
+ Với $x=\dfrac{\pi }{6}$, ta có: $\sin \dfrac{\pi }{6}.f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{\pi }{6}.\tan \dfrac{\pi }{6}+\ln \left| \cos \dfrac{\pi }{6} \right|+C\Rightarrow f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{1}{9}\pi \sqrt{3}+\ln 3-2\ln 2+2C$
Do đó: $\sqrt{3}f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{5}{9}\pi \sqrt{3}-\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{5}{9} \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=a+b=-\dfrac{4}{9}$.
Đáp án A.