Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left[ -2;2 \right]$ thỏa mãn $\int\limits_{-2}^{2}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)\left( x+2 \right) \right]dx}=-\dfrac{64}{3}.$ Tính $I=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx.}$
A. $I=\dfrac{\pi -2\ln 2}{2}$
B. $I=\dfrac{\pi -\ln 2}{2}$
C. $I=\dfrac{\pi +\ln 2}{2}$
D. $I=\dfrac{\pi +2\ln 2}{2}$
A. $I=\dfrac{\pi -2\ln 2}{2}$
B. $I=\dfrac{\pi -\ln 2}{2}$
C. $I=\dfrac{\pi +\ln 2}{2}$
D. $I=\dfrac{\pi +2\ln 2}{2}$
Phương pháp:
- Nhận xét $\int\limits_{-2}^{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}dx=\dfrac{64}{3},}$ áp dụng tính chất tích phân và đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng bình
phương.
- Sử dụng $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=0.$
Cách giải:
Ta có $\int\limits_{-2}^{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}dx}=\dfrac{64}{3}$ nên
$\int\limits_{-2}^{2}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)\left( x+2 \right) \right]dx}=-\int\limits_{-2}^{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}dx}$
$\Rightarrow \int\limits_{-2}^{2}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)\left( x+2 \right)+{{\left( x+2 \right)}^{2}} \right]dx}=0$
$\Leftrightarrow \int\limits_{-2}^{2}{{{\left[ f\left( x \right)-x-2 \right]}^{2}}dx}=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=x+2$
Vậy $I=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x+2}{{{x}^{2}}+1}dx=}\dfrac{\pi +\ln 2}{2}.$
- Nhận xét $\int\limits_{-2}^{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}dx=\dfrac{64}{3},}$ áp dụng tính chất tích phân và đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng bình
phương.
- Sử dụng $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=0.$
Cách giải:
Ta có $\int\limits_{-2}^{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}dx}=\dfrac{64}{3}$ nên
$\int\limits_{-2}^{2}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)\left( x+2 \right) \right]dx}=-\int\limits_{-2}^{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}dx}$
$\Rightarrow \int\limits_{-2}^{2}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)\left( x+2 \right)+{{\left( x+2 \right)}^{2}} \right]dx}=0$
$\Leftrightarrow \int\limits_{-2}^{2}{{{\left[ f\left( x \right)-x-2 \right]}^{2}}dx}=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=x+2$
Vậy $I=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x+2}{{{x}^{2}}+1}dx=}\dfrac{\pi +\ln 2}{2}.$
Đáp án C.