Cho hàm số $f (x)$ liên tục và có đạo hàm trên khoảng...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

liên tục và có đạo hàm trên khoảng

(0; + \infty)

thỏa mãn

\sin x + f (x) = x [\cos x + f^{'} (x)]

và

f (\frac{π}{2}) = π - 1.

Giá trị của

f (\frac{π}{6})

bằng
A.

\frac{2 π - 3 \sqrt{3}}{6} .

B.

\frac{4 π - 3 \sqrt{3}}{6} .

C.

\frac{2 π - 3}{6} .

D.

\frac{4 π - 3}{6} .

Ta có

\frac{x . f^{'} (x) - f (x)}{x^{2}} = - \frac{\cos x}{x} + \frac{\sin x}{x^{2}} \Rightarrow {[\frac{f (x)}{x}]}^{'} = - \frac{\cos x}{x} + \frac{\sin x}{x^{2}}

\Rightarrow \frac{f (x)}{x} = - \int \frac{\cos x}{x} d x + \int \frac{\sin x}{x^{2}} d x = - \int \frac{1}{x} d (\sin x) + \int \frac{\sin x}{x^{2}} d x

= - \frac{\sin x}{x} + C + \int \sin x d (\frac{1}{x}) + \int \frac{\sin x}{x^{2}} d x = - \frac{\sin x}{x} + C + \int \sin x . \frac{- 1}{x^{2}} d x + \int \frac{\sin x}{x^{2}} d x = - \frac{\sin x}{x} + C

\Rightarrow f (x) = - \sin x + C x .

Mà

f (\frac{π}{2}) = π - 1 \Rightarrow - 1 + C . \frac{π}{2} = π - 1 \Rightarrow C = 2 \Rightarrow f (x) = - \sin x + 2 x

\Rightarrow f (\frac{π}{6}) = - \frac{1}{2} + \frac{π}{3} .

Đáp án C.

Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng...