Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $R$. Gọi $F\left( x \right),G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $R$ thỏa mãn $F\left( 1 \right)-3G\left( 1 \right)=4$ và $F\left( 0 \right)-3G\left( 0 \right)=6$. Nếu $f\left( 1 \right)=2$ thì $\int\limits_{0}^{1}{xf'\left( x \right)\text{d}x}$ bằng
A. $3$.
B. $-1$.
C. $2$.
D. $1$.
A. $3$.
B. $-1$.
C. $2$.
D. $1$.
Ta có: $F\left( 1 \right)-3G\left( 1 \right)=4$ và $F\left( 0 \right)-3G\left( 0 \right)=6$ $\Rightarrow F\left( 0 \right)-F\left( 1 \right)+3G\left( 1 \right)-3G\left( 0 \right)=2$
Tính $I=\int\limits_{0}^{1}{xf'\left( x \right)\text{d}x}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow I=\left. x.f\left( x \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=f\left( 1 \right)-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$
Vì $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)\Rightarrow I=2-\left. F\left( x \right) \right|_{0}^{1}=2+F\left( 0 \right)-F\left( 1 \right)$ (1)
$G\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)\Rightarrow I=2-\left. G\left( x \right) \right|_{0}^{1}=2+G\left( 0 \right)-G\left( 1 \right)$ (2)
Lấy $\left( 1 \right)-3.\left( 2 \right)$ ta được: $I-3I=2+F\left( 0 \right)-F\left( 1 \right)-6+3G\left( 0 \right)-3G\left( 1 \right)=-4+2=-2\Rightarrow I=1$.
Tính $I=\int\limits_{0}^{1}{xf'\left( x \right)\text{d}x}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow I=\left. x.f\left( x \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=f\left( 1 \right)-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$
Vì $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)\Rightarrow I=2-\left. F\left( x \right) \right|_{0}^{1}=2+F\left( 0 \right)-F\left( 1 \right)$ (1)
$G\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)\Rightarrow I=2-\left. G\left( x \right) \right|_{0}^{1}=2+G\left( 0 \right)-G\left( 1 \right)$ (2)
Lấy $\left( 1 \right)-3.\left( 2 \right)$ ta được: $I-3I=2+F\left( 0 \right)-F\left( 1 \right)-6+3G\left( 0 \right)-3G\left( 1 \right)=-4+2=-2\Rightarrow I=1$.
Đáp án D.
