Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên R đồng thời thỏa mãn...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

liên tục trên R đồng thời thỏa mãn

f (x) + f (- x) = 3 - 2 \cos x

, với mọi

x \in R

. Tính tích phân

I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x

?
A.

I = \frac{π}{2} + 2

B.

I = \frac{3 π}{2} - 2

C.

I = \frac{π - 1}{3}

D.

I = \frac{π + 1}{2}

Đặt

t = - x \Rightarrow d t = - d x

. Đổi cận

x = - \frac{π}{2} \Rightarrow t = \frac{π}{2}; x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = - \frac{π}{2}

Khi đó,

I = - \int_{\frac{π}{2}}^{- \frac{π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- x) d x

Mặt khác:

f (x) + f (- x) = 3 - 2 \cos x

Ta có:

2 I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} [f (x) + f (- x)] d x = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (3 - 2 \cos x) d x \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (3 - 2 \cos x) d x

Do

f (x) = 3 - 2 \cos x

là hàm số chẵn trên đoạn

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

Nên

I = \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (3 - 2 \cos x) d x = 2. \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (3 - 2 \cos x) d x = (3 x - 2 \sin x) |_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{3 π}{2} - 2

.

Đáp án B.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R đồng thời thỏa mãn...