Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên R đồng thời thỏa mãn $f\left( x \right)+f\left( -x \right)=3-2\cos x$, với mọi $x\in R$. Tính tích phân $I=\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}$ ?
A. $I=\dfrac{\pi }{2}+2$
B. $I=\dfrac{3\pi }{2}-2$
C. $I=\dfrac{\pi -1}{3}$
D. $I=\dfrac{\pi +1}{2}$
A. $I=\dfrac{\pi }{2}+2$
B. $I=\dfrac{3\pi }{2}-2$
C. $I=\dfrac{\pi -1}{3}$
D. $I=\dfrac{\pi +1}{2}$
Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx$. Đổi cận $x=-\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=\dfrac{\pi }{2}; x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=-\dfrac{\pi }{2}$
Khi đó, $I=-\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{-\dfrac{\pi }{2}}{f\left( -t \right)dt=}\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( -t \right)dt}=\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( -x \right)dx}$
Mặt khác: $f\left( x \right)+f\left( -x \right)=3-2\cos x$
Ta có: $2I=\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left[ f\left( x \right)+f\left( -x \right) \right]dx}=\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 3-2\cos x \right)dx}\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 3-2\cos x \right)dx}$
Do $f\left( x \right)=3-2\cos x$ là hàm số chẵn trên đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{2}; \dfrac{\pi }{2} \right]$
Nên $I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 3-2\cos x \right)dx}=2.\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 3-2\cos x \right)dx}=\left( 3x-2\sin x \right)\left| _{0}^{\dfrac{\pi }{2}} \right.=\dfrac{3\pi }{2}-2$.
Khi đó, $I=-\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{-\dfrac{\pi }{2}}{f\left( -t \right)dt=}\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( -t \right)dt}=\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( -x \right)dx}$
Mặt khác: $f\left( x \right)+f\left( -x \right)=3-2\cos x$
Ta có: $2I=\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left[ f\left( x \right)+f\left( -x \right) \right]dx}=\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 3-2\cos x \right)dx}\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 3-2\cos x \right)dx}$
Do $f\left( x \right)=3-2\cos x$ là hàm số chẵn trên đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{2}; \dfrac{\pi }{2} \right]$
Nên $I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 3-2\cos x \right)dx}=2.\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 3-2\cos x \right)dx}=\left( 3x-2\sin x \right)\left| _{0}^{\dfrac{\pi }{2}} \right.=\dfrac{3\pi }{2}-2$.
Đáp án B.