Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( x \right)=2f\left( 3x \right)$. Gọi $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left( 3 \right)=9$ và $2F\left( 1 \right)-3F\left( 9 \right)=-9$. Khi đó $\int\limits_{1}^{9}{f\left( x \right)dx}$ bằng
A. $9$
B. $1$
C. $8$
D. $0$
A. $9$
B. $1$
C. $8$
D. $0$
Từ $f\left( x \right)=2f\left( 3x \right)$ suy ra $\int{f\left( x \right)dx=2\int{f\left( 3x \right)dx\Rightarrow F\left( x \right)=\dfrac{2}{3}F\left( 3x \right)+C}}$
Lần lượt thay $x=1$ và $x=3$ vào ta có $\left\{ \begin{aligned}
& F\left( 1 \right)=\dfrac{2}{3}F\left( 3 \right)+C \\
& F\left( 3 \right)=\dfrac{2}{3}F\left( 9 \right)+C \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F\left( 1 \right)=\dfrac{2}{3}.9+C \\
& 9=\dfrac{2}{3}F\left( 9 \right)+C \\
\end{aligned} \right.$
Trừ vế theo vế ta được $F\left( 1 \right)-9=6-\dfrac{2}{3}F\left( 9 \right)\Leftrightarrow 3F\left( 1 \right)+2F\left( 9 \right)=45$
Lại theo đề bài ta có $2F\left( 1 \right)-3F\left( 9 \right)=-9$ nên suy ra $F\left( 1 \right)=9$ và $F\left( 9 \right)=9$
Ta có $\int\limits_{1}^{9}{f\left( x \right)dx}=F\left( 9 \right)-F\left( 1 \right)=9-9=0$
Lần lượt thay $x=1$ và $x=3$ vào ta có $\left\{ \begin{aligned}
& F\left( 1 \right)=\dfrac{2}{3}F\left( 3 \right)+C \\
& F\left( 3 \right)=\dfrac{2}{3}F\left( 9 \right)+C \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F\left( 1 \right)=\dfrac{2}{3}.9+C \\
& 9=\dfrac{2}{3}F\left( 9 \right)+C \\
\end{aligned} \right.$
Trừ vế theo vế ta được $F\left( 1 \right)-9=6-\dfrac{2}{3}F\left( 9 \right)\Leftrightarrow 3F\left( 1 \right)+2F\left( 9 \right)=45$
Lại theo đề bài ta có $2F\left( 1 \right)-3F\left( 9 \right)=-9$ nên suy ra $F\left( 1 \right)=9$ và $F\left( 9 \right)=9$
Ta có $\int\limits_{1}^{9}{f\left( x \right)dx}=F\left( 9 \right)-F\left( 1 \right)=9-9=0$
Đáp án D.