Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${{x}^{2}}.f\left( {{x}^{5}} \right)+x.f\left( 1-{{x}^{4}} \right)=-3{{x}^{4}}+x+3$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Khi đó tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}$ bằng
A. $\dfrac{23}{28}$.
B. $\dfrac{207}{560}$.
C. $-\dfrac{115}{7}$.
D. $\dfrac{115}{63}$.
A. $\dfrac{23}{28}$.
B. $\dfrac{207}{560}$.
C. $-\dfrac{115}{7}$.
D. $\dfrac{115}{63}$.
Ta có ${{x}^{2}}.f\left( {{x}^{5}} \right)+x.f\left( 1-{{x}^{4}} \right)=-3{{x}^{4}}+x+3$.
Nhân cả hai vế cho ${{x}^{2}}$ ta được: ${{x}^{4}}.f\left( {{x}^{5}} \right)+{{x}^{3}}.f\left( 1-{{x}^{4}} \right)=-3{{x}^{6}}+{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$.
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được ${{I}_{1}}+{{I}_{2}}=\dfrac{23}{28}$, với ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}.f\left( {{x}^{5}} \right)}\text{d}x$ và ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.f\left( 1-{{x}^{4}} \right)}\text{d}x$.
+ Tính ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}.f\left( {{x}^{5}} \right)}\text{d}x$.
Đổi biến: Đặt ${{x}^{5}}=t$ $\Rightarrow 5{{x}^{4}}\text{d}x=\text{d}t\Rightarrow {{x}^{4}}\text{d}x=\dfrac{\text{d}t}{5}$.
Đổi cận: Với $x=0$ thì $t=0$ ; với $x=1$ thì $t=1$.
Khi đó ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}.f\left( {{x}^{5}} \right)}\text{d}x=\dfrac{1}{5}\int\limits_{0}^{1}{f(t)\text{d}t}=\dfrac{1}{5}\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}$.
+ Tính ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.f\left( 1-{{x}^{4}} \right)}\text{d}x$.
Đổi biến: Đặt $1-{{x}^{4}}=u$ $\Rightarrow -4{{x}^{3}}\text{d}x=du\Rightarrow {{x}^{3}}\text{d}x=-\dfrac{\text{d}u}{4}$.
Đổi cận: Với $x=0$ thì $u=1$ ; với $x=1$ thì $u=0$.
Khi đó ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.f\left( 1-{{x}^{4}} \right)}\text{d}x=-\dfrac{1}{4}\int\limits_{1}^{0}{f(u)\text{d}u}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f(u)\text{d}u=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}}$.
Ta có ${{I}_{1}}+{{I}_{2}}=\dfrac{23}{28}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{5}\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}+\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}=\dfrac{23}{28}$
$\Leftrightarrow \dfrac{9}{20}\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}=\dfrac{23}{28}$ $\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}=\dfrac{115}{63}$.
Nhân cả hai vế cho ${{x}^{2}}$ ta được: ${{x}^{4}}.f\left( {{x}^{5}} \right)+{{x}^{3}}.f\left( 1-{{x}^{4}} \right)=-3{{x}^{6}}+{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$.
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được ${{I}_{1}}+{{I}_{2}}=\dfrac{23}{28}$, với ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}.f\left( {{x}^{5}} \right)}\text{d}x$ và ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.f\left( 1-{{x}^{4}} \right)}\text{d}x$.
+ Tính ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}.f\left( {{x}^{5}} \right)}\text{d}x$.
Đổi biến: Đặt ${{x}^{5}}=t$ $\Rightarrow 5{{x}^{4}}\text{d}x=\text{d}t\Rightarrow {{x}^{4}}\text{d}x=\dfrac{\text{d}t}{5}$.
Đổi cận: Với $x=0$ thì $t=0$ ; với $x=1$ thì $t=1$.
Khi đó ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}.f\left( {{x}^{5}} \right)}\text{d}x=\dfrac{1}{5}\int\limits_{0}^{1}{f(t)\text{d}t}=\dfrac{1}{5}\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}$.
+ Tính ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.f\left( 1-{{x}^{4}} \right)}\text{d}x$.
Đổi biến: Đặt $1-{{x}^{4}}=u$ $\Rightarrow -4{{x}^{3}}\text{d}x=du\Rightarrow {{x}^{3}}\text{d}x=-\dfrac{\text{d}u}{4}$.
Đổi cận: Với $x=0$ thì $u=1$ ; với $x=1$ thì $u=0$.
Khi đó ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.f\left( 1-{{x}^{4}} \right)}\text{d}x=-\dfrac{1}{4}\int\limits_{1}^{0}{f(u)\text{d}u}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f(u)\text{d}u=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}}$.
Ta có ${{I}_{1}}+{{I}_{2}}=\dfrac{23}{28}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{5}\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}+\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}=\dfrac{23}{28}$
$\Leftrightarrow \dfrac{9}{20}\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}=\dfrac{23}{28}$ $\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}=\dfrac{115}{63}$.
Đáp án D.